Baris dan Deret

Diketahui $b_{n+2} = 3b_{n+1} - b_n$. Mari kita cari nilai $b_3$ dan $b_4$ secara berurutan.

Untuk $n = 1$:

$\begin{aligned} b_3 &= 3b_2 - b_1 \\ &= 3(1) - (-2) \\ &= 3 + 2 = 5 \end{aligned}$

Untuk $n = 2$:

$\begin{aligned} b_4 &= 3b_3 - b_2 \\ &= 3(5) - 1 \\ &= 15 - 1 = 14 \end{aligned}$

Maka nilai dari $b_4 - b_2$ adalah:

$\begin{aligned} b_4 - b_2 &= 14 - 1 \\ &= 13 \end{aligned}$

Jadi jawabannya adalah E. 13

Kita dapat merubah bentuk persamaan menjadi $a_{n+2} = a_{n+1} + 3a_n$.

Untuk mencari $a_3$, masukkan nilai $n = 1$:

$\begin{aligned} a_3 &= a_2 + 3a_1 \\ &= 7 + 3(5) \\ &= 7 + 15 = 22 \end{aligned}$

Maka hasil dari $a_3 + a_2$ adalah:

$\begin{aligned} a_3 + a_2 &= 22 + 7 \\ &= 29 \end{aligned}$

Jadi jawabannya adalah E. 29

Ini adalah soal dengan persamaan yang persis sama dengan soal Nomor 1. Kita sudah mendapatkan nilainya:

• $b_3 = 5$
• $b_4 = 14$

Maka nilai dari $b_4 - b_3$ adalah:

$\begin{aligned} b_4 - b_3 &= 14 - 5 \\ &= 9 \end{aligned}$

Jadi jawabannya adalah E. 9

Ubah bentuk rumusnya terlebih dahulu menjadi $a_{n+2} = a_{n+1} + 3a_n$.

Untuk $n = 1$:

$\begin{aligned} a_3 &= a_2 + 3a_1 \\ &= 6 + 3(4) \\ &= 6 + 12 = 18 \end{aligned}$

Maka nilai dari $a_3 + a_2$ adalah:

$\begin{aligned} a_3 + a_2 &= 18 + 6 \\ &= 24 \end{aligned}$

Jadi jawabannya adalah E. 24

Ubah susunan rumus agar kita dapat mencari suku sebelumnya: $c_n = c_{n+1} + 3c_{n+2}$.

Gunakan $n = 3$ untuk mencari $c_4$ terlebih dahulu:

$\begin{aligned} 3c_5 &= c_3 - c_4 \\ 3(-2) &= 1 - c_4 \\ -6 &= 1 - c_4 \\ c_4 &= 7 \end{aligned}$

Kemudian, gunakan $n = 2$ untuk mencari $c_2$:

$\begin{aligned} 3c_4 &= c_2 - c_3 \\ 3(7) &= c_2 - 1 \\ 21 &= c_2 - 1 \\ c_2 &= 22 \end{aligned}$

Jadi jawabannya adalah E. 22

Perhatikan pola pengurangan antar bilangannya (dari kiri ke kanan):

• $60 \rightarrow 55$ (Berkurang 5)
• $55 \rightarrow 49$ (Berkurang 6)
• $49 \rightarrow 42$ (Berkurang 7)
• $42 \rightarrow 34$ (Berkurang 8)

Berdasarkan urutan pola $-5, -6, -7, -8$, maka pengurangan selanjutnya untuk $y$ adalah $-9$:

$y = 34 - 9 = 25$

Sedangkan pengurangan sebelumnya (dari $x$ ke 60) haruslah $-4$:

$\begin{aligned} x - 4 &= 60 \\ x &= 64 \end{aligned}$

Maka hasil dari $2y - x$ adalah:

$\begin{aligned} 2(25) - 64 &= 50 - 64 \\ &= -14 \end{aligned}$

Jadi jawabannya adalah E. -14

Pada barisan aritmatika, rumus suku ke-$n$ adalah $U_n = a + (n-1)b$.

$\begin{aligned} U_6 - U_3 &= (a + 5b) - (a + 2b) \\ 25 - 10 &= 3b \\ 15 &= 3b \\ b &= 5 \end{aligned}$

Substitusikan $b = 5$ untuk mencari nilai awal ($a$):

$\begin{aligned} U_3 &= a + 2b \\ 10 &= a + 2(5) \\ 10 &= a + 10 \\ a &= 0 \end{aligned}$

Maka nilai $U_{15}$ adalah:

$\begin{aligned} U_{15} &= a + 14b \\ &= 0 + 14(5) \\ &= 70 \end{aligned}$

(Catatan: Hasil yang benar secara matematis adalah 70. Jika soal ini bersumber dari UTBK asli, kemungkinan besar pembuat soal mengalami typo dan sebenarnya menanyakan $U_{14}$ yang hasilnya adalah 65 (Opsi A)).

Soal ini cukup menjebak karena menyebut $U_6$, tetapi yang ditanyakan pada akhirnya hanyalah jumlah 6 suku pertama ($S_6$). Kita hanya perlu mensubstitusikan $n=6$ ke dalam rumus $S_n$ yang sudah diberikan.

$\begin{aligned} S_n &= 4n^2 + 3n - 5 \\ S_6 &= 4(6)^2 + 3(6) - 5 \\ &= 4(36) + 18 - 5 \\ &= 144 + 13 \\ &= 157 \end{aligned}$

Jadi jawabannya adalah C. 157

Ini adalah pola barisan bilangan bertingkat (lompat satu). Mari pisahkan menjadi dua barisan yang saling berselingan:

• Pola Ganjil: 130, 133, 136, 139, $y$. Terlihat polanya adalah terus bertambah 3. Maka $y = 139 + 3 = 142$.
• Pola Genap: 135, 137, $x$, 141. Terlihat polanya adalah terus bertambah 2. Maka $x = 137 + 2 = 139$.

Jadi nilai $x = 139$ dan $y = 142$.

Jadi jawabannya adalah C. 139, 142

Cari beda barisannya ($b$) dengan metode eliminasi:

$\begin{aligned} U_6 - U_3 &= (a + 5b) - (a + 2b) \\ 27 - 15 &= 3b \\ 12 &= 3b \\ b &= 4 \end{aligned}$

Cari suku pertama ($a$):

$\begin{aligned} a + 2b &= 15 \\ a + 2(4) &= 15 \\ a + 8 &= 15 \\ a &= 7 \end{aligned}$

Maka suku ke-15 adalah:

$\begin{aligned} U_{15} &= a + 14b \\ &= 7 + 14(4) \\ &= 7 + 56 \\ &= 63 \end{aligned}$

Jadi jawabannya adalah E. 63

Mari kita temukan nilai $a$ dan $b$ terlebih dahulu:

$\begin{aligned} U_6 - U_3 &= 3b \\ 36 - 24 &= 3b \\ 12 &= 3b \rightarrow b = 4 \\ \\ U_3 &= a + 2b \\ 24 &= a + 8 \rightarrow a = 16 \end{aligned}$

(Catatan: Jika diperhatikan, opsi jawaban bernilai ratusan. Ini mengindikasikan bahwa soal aslinya kemungkinan besar mempertanyakan $S_{15}$ (Jumlah 15 Suku Pertama), bukan $U_{15}$).

Mari kita hitung $S_{15}$:

$\begin{aligned} S_n &= \frac{n}{2}(2a + (n-1)b) \\ S_{15} &= \frac{15}{2} (2(16) + 14(4)) \\ &= \frac{15}{2} (32 + 56) \\ &= \frac{15}{2} (88) \\ &= 15 \times 44 \\ &= 660 \end{aligned}$

Jadi jawabannya (dengan asumsi pertanyaan $S_{15}$) adalah A. 660

Mari kita jabarkan persamaannya menggunakan sifat $U_n = a + (n-1)b$:

$\begin{aligned} (a+b) + (a+3b) + (a+5b) &= 15 \\ 3a + 9b &= 15 \\ a + 3b &= 5 \quad \dots \text{(Persamaan 1)} \\ \\ (a+2b) + (a+4b) + (a+6b) &= 27 \\ 3a + 12b &= 27 \\ a + 4b &= 9 \quad \dots \text{(Persamaan 2)} \end{aligned}$

Eliminasi kedua persamaan:

$\begin{aligned} (a + 4b) - (a + 3b) &= 9 - 5 \\ b &= 4 \end{aligned}$

Temukan $a$:

$\begin{aligned} a + 3(4) &= 5 \\ a + 12 &= 5 \\ a &= -7 \end{aligned}$

Pertanyaan $U_1 + \dots + U_{20}$ adalah definisi lain dari $S_{20}$. Mari kita hitung:

$\begin{aligned} S_{20} &= \frac{20}{2} (2a + 19b) \\ &= 10 (2(-7) + 19(4)) \\ &= 10 (-14 + 76) \\ &= 10 (62) = 620 \end{aligned}$

(Catatan: Hasil matematis validnya adalah 620. Dikarenakan tidak ada opsi yang mendekati, soal asli dari pusat UTBK kemungkinan mengalami cacat pencetakan nominal pada bagian opsi A-E).

Diketahui suku pertama $= a$ dan beda $= 2a$. Rumus jumlah 5 suku pertama ($S_5$):

$\begin{aligned} S_5 &= \frac{5}{2} (2(\text{suku pertama}) + 4(\text{beda})) \\ 100 &= \frac{5}{2} (2a + 4(2a)) \\ 200 &= 5 (2a + 8a) \\ 200 &= 5 (10a) \\ 200 &= 50a \\ a &= 4 \end{aligned}$

Maka beda asli barisan tersebut adalah $2a = 2(4) = 8$. Barisan aslinya adalah: $4, 12, 20, 28, 36, 44, \dots$

Pertanyaannya meminta jumlah khusus dari $U_2 + U_4 + \dots + U_{20}$ (ada 10 suku total). Ini akan membentuk barisan aritmatika baru:

• Suku Pertama Baru ($A$) = $U_2 = a + b = 4 + 8 = 12$.
• Beda Baru ($B$) = Karena loncat dua suku (dari $U_2$ ke $U_4$), maka bedanya adalah $2b = 16$.

Mari hitung jumlah 10 suku pada deret baru ini:

$\begin{aligned} S_{10\_baru} &= \frac{10}{2} (2A + 9B) \\ &= 5 (2(12) + 9(16)) \\ &= 5 (24 + 144) \\ &= 5 (168) \\ &= 840 \end{aligned}$

Jadi jawabannya adalah B. 840

Tuliskan persamaannya berdasarkan rumus suku ke-$n$:

$\begin{aligned} \frac{U_1}{U_3} &= \frac{2}{3} \\ \frac{a}{a + 2b} &= \frac{2}{3} \\ 3a &= 2(a + 2b) \\ 3a &= 2a + 4b \\ a &= 4b \end{aligned}$

Gunakan variabel $a = 4b$ untuk membandingkan $U_2$ dan $U_4$:

$\begin{aligned} \frac{U_2}{U_4} &= \frac{a + b}{a + 3b} \\ &= \frac{4b + b}{4b + 3b} \\ &= \frac{5b}{7b} \\ &= \frac{5}{7} \end{aligned}$

Jadi jawabannya adalah E. 5 : 7

Jabarkan persamaan pada soal:

$\begin{aligned} U_{k+2} &= U_2 + k \cdot U_{16} - 2 \\ a + (k+1)b &= (a + b) + k(a + 15b) - 2 \\ a + kb + b &= a + b + ka + 15kb - 2 \end{aligned}$

Hilangkan elemen $a+b$ di kedua sisi, lalu kita pindah ruaskan:

$\begin{aligned} kb &= ka + 15kb - 2 \\ 2 &= ka + 15kb - kb \\ 2 &= ka + 14kb \\ 2 &= k(a + 14b) \end{aligned}$

Karena $(a+14b)$ adalah rumus murni dari $U_{15}$, maka:

$\begin{aligned} 2 &= k \cdot U_{15} \\ U_{15} &= \frac{2}{k} \end{aligned}$

Mari kita evaluasi apa yang sebenarnya ditanyakan oleh soal:

$\begin{aligned} U_6 + U_{12} + U_{18} + U_{24} &= (a+5b) + (a+11b) + (a+17b) + (a+23b) \\ &= 4a + 56b \\ &= 4(a + 14b) \\ &= 4 \cdot U_{15} \end{aligned}$

Tinggal kita substitusikan nilai $U_{15}$ yang sudah didapat:

$\begin{aligned} 4 \cdot \frac{2}{k} = \frac{8}{k} \end{aligned}$

Jadi jawabannya adalah E. $\frac{8}{k}$

Ini adalah aplikasi dasar barisan aritmatika dengan:

• Suku awal ($a$) = 12
• Beda ($b$) = $14 - 12 = 2$

Ditanyakan kursi di baris ke-12 ($U_{12}$):

$\begin{aligned} U_{12} &= a + 11b \\ &= 12 + 11(2) \\ &= 12 + 22 \\ &= 34 \end{aligned}$

Jadi jawabannya adalah B. 34

Kita uraikan terlebih dahulu persamaan perjumlahan suku ganjilnya:

$\begin{aligned} a + (a+2b) + (a+4b) + (a+6b) + (a+8b) &= 90 \\ 5a + 20b &= 90 \end{aligned}$

Substitusikan nilai $b = 2a$:

$\begin{aligned} 5a + 20(2a) &= 90 \\ 5a + 40a &= 90 \\ 45a &= 90 \\ a &= 2 \end{aligned}$

Maka bedanya adalah $b = 2(2) = 4$.

Hitung persamaan deret yang ditanyakan (suku genap):

$\begin{aligned} U_8 + U_{10} + U_{12} + U_{14} + U_{16} &= (a+7b) + (a+9b) + (a+11b) + (a+13b) + (a+15b) \\ &= 5a + 55b \\ &= 5(2) + 55(4) \\ &= 10 + 220 \\ &= 230 \end{aligned}$

Jadi jawabannya adalah C. 230

Karena suku nilainya semakin mengecil, artinya barisan ini menurun (beda negatif). Mari kita cari nilai bedanya ($b$):

$\begin{aligned} U_9 - U_3 &= 6b \\ 18 - 25 &= 6b \\ -7 &= 6b \\ b &= -\frac{7}{6} \end{aligned}$

Untuk mencari suku ke-12, cukup tambahkan 3 loncatan beda dari suku ke-9:

$\begin{aligned} U_{12} &= U_9 + 3b \\ &= 18 + 3\left(-\frac{7}{6}\right) \\ &= 18 - \frac{7}{2} \\ &= 18 - 3,5 \\ &= 14,5 \end{aligned}$

(Catatan: Hitungan matematis ini sudah terverifikasi benar 100% yakni 14,5. Jika tidak ada di pilihan, ini berarti soal yang diberikan dari sumber try-out aslinya memiliki sedikit kesalahan pencetakan pada besaran U3 dan U9).

Cari bedanya terlebih dahulu:

$\begin{aligned} U_6 - U_3 &= 3b \\ 36 - 24 &= 3b \\ 12 &= 3b \rightarrow b = 4 \end{aligned}$

Cari suku awalnya ($a$):

$\begin{aligned} U_3 &= a + 2b \\ 24 &= a + 2(4) \\ 24 &= a + 8 \rightarrow a = 16 \end{aligned}$

Hitung $S_{15}$ (Jumlah 15 suku pertama):

$\begin{aligned} S_n &= \frac{n}{2}(2a + (n-1)b) \\ S_{15} &= \frac{15}{2}(2(16) + 14(4)) \\ &= \frac{15}{2}(32 + 56) \\ &= \frac{15}{2}(88) \\ &= 15(44) \\ &= 660 \end{aligned}$

Jadi jawabannya adalah D. 660

Sifat bilangan "antara 1 dan 100" secara harfiah artinya angka 1 dan 100 tidak diikutsertakan (secara matematis: $1 \lt x \lt 100$).

Maka, deret kelipatan 5-nya dimulai dari angka 5 dan berakhir pada angka 95.

• $a = 5$
• $b = 5$
• $U_n = 95$

Cari ada berapa banyak suku bilangannya ($n$):

$\begin{aligned} U_n &= a + (n-1)b \\ 95 &= 5 + (n-1)5 \\ 90 &= 5n - 5 \\ 95 &= 5n \\ n &= 19 \end{aligned}$

Lalu, totalkan jumlah deret dari 19 bilangan tersebut ($S_{19}$):

$\begin{aligned} S_{19} &= \frac{n}{2}(a + U_n) \\ &= \frac{19}{2}(5 + 95) \\ &= \frac{19}{2}(100) \\ &= 19 \times 50 \\ &= 950 \end{aligned}$

Jadi jawabannya adalah D. 950