Minat Matematika

Teks 1

Pada pertanian melingkar (Circular Farming), tanaman ditanam secara melingkar seperti pada gambar. Pada lingkaran paling luar yaitu $L_1$ , tanaman ditanam sepanjang lingkaran dengan radius $R_1$ meter. Petani menyirami tanaman dengan air melalui pipa air yang berputar sesuai dengan arah panah. Pada pipa air terdapat lubang air. Lubang air nomor 1 mengairi tanaman pada lingkaran $L_1$ dengan radius $R_1$ , dan seterusnya.

Circular Farming

Soal No. 1

Ukuran lubang tiap air sama. Rapat tanaman pada $L_n$ adalah banyaknya tanaman yang ditanam di $L_n$ untuk setiap 1 m. Jika $R_2 : R_5 = 8 : 6$ dan rapat tanaman di $L_2$ sama dengan rapat tanaman di $L_5$ . Perbandingan banyaknya tanaman yang ditanam di $R_2$ dan $R_5$ adalah ... A. $3 : 4$ B. $9 : 16$ C. $4 : 3$ D. $16 : 9$ E. $\sqrt{3} : 2$

Pembahasan No. 1

Rapat Tanaman $(\rho)$ adalah banyaknya tanaman $(n)$ yang ditanam untuk setiap 1 m. Artinya, jika kita punya 1000 tanaman yang ditanam mengelilingi lahan berbentuk lingkaran sepanjang 100 m, banyaknya tanaman yang ditanam setiap 1 m adalah $\large \frac{1000}{100}$ $\small = 10$ tanaman.

Dari pernyataan di atas, kita bisa buat sebuah persamaan, yaitu:

$\small \text{Rapat Tanaman} = \frac{\text{Banyak Tanaman}}{\text{Keliling}}$ $\small \rho = \large \frac{n}{K}$

Karena rapat tanaman di $L_2$ sama dengan rapat tanaman di $L_5$ ( $\rho_2 = \rho_5$ ), maka:

$\large \frac{n_2}{K_2} = \frac{n_5}{K_5}$ $\large \frac{n_2}{n_5} = \frac{K_2}{K_5}$ $\large \frac{n_2}{n_5} = \frac{2 \pi R_2}{2 \pi R_5}$ $\large \frac{n_2}{n_5} = \frac{R_2}{R_5} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}$

Jadi, perbandingannya adalah C. $4 : 3$

Soal No. 2

Ukuran lubang air sama dan air yang keluar dari tiap lubang memiliki debit yang sama. Jika $R_1 : R_2 : R_3 = 9 : 8 : 6$ , perbandingan banyak air yang diterima di setiap meter tanah pada $L_1$ , $L_2$ , dan $L_3$ adalah ... A. $6 : 8 : 9$ B. $\frac{1}{9} : \frac{1}{8} : \frac{1}{6}$ C. $9 : 8 : 6$ D. $9^2 : 8^2 : 6^2$ E. $\sqrt{6} : \sqrt{8} : \sqrt{9}$

Pembahasan No. 2

Banyak air yang diterima di setiap meter tanah $(a)$ , dapat ditentukan dengan membagi banyak air total $(V)$ dengan keliling dari lingkaran $(K)$ .

Persamaan: $a = \large \frac{V}{K} \normalsize \rightarrow V = a \cdot K$

Karena debit air yang keluar dari tiap lubang sama ( $V$ konstan), maka: $a_a \cdot K_a = a_b \cdot K_b \rightarrow \large \frac{a_a}{a_b} = \frac{K_b}{K_a} = \frac{R_b}{R_a}$

Kesimpulan: Perbandingan banyak air yang diterima di setiap meter tanah adalah kebalikan dari perbandingan jari-jarinya.

Perbandingan $R_1 : R_2 : R_3 = 9 : 8 : 6$ . Maka perbandingan airnya: B. $\frac{1}{9} : \frac{1}{8} : \frac{1}{6}$

Soal No. 3

Ukuran tiap lubang air sama dan $R_2 : R_4 : R_6 = 6 : 4 : 2$ . Agar pengairan pada $L_2$ , $L_4$ , dan $L_6$ merata secara sama, perbandingan debit air yang keluar dari lubang nomor 2, 4, dan 6 adalah ... A. $3 : 2 : 1$ B. $1 : 2 : 3$ C. $\frac{1}{3} : \frac{1}{2} : 1$ D. $1 : \frac{1}{2} : \frac{1}{3}$ E. $9 : 4 : 1$

Pembahasan No. 3

Berdasarkan prinsip kesebangunan, debit air $(Q)$ yang keluar sebanding dengan volume yang dibutuhkan dan jari-jari lingkaran $(R)$ .

$a = \large \frac{V}{K} \normalsize \rightarrow Q \approx a \cdot R$

Karena pengairan merata ( $a$ sama), maka perbandingan debit berbanding lurus dengan jari-jari: $Q_2 : Q_4 : Q_6 = R_2 : R_4 : R_6$ $Q_2 : Q_4 : Q_6 = 6 : 4 : 2 = 3 : 2 : 1$

Jawaban: A

Soal No. 4

Debit air yang keluar dari lubang sama, yaitu 1 cm³/detik. Jika $R_5 : R_9 = 5 : 4$ , agar tanaman pada $L_5$ dan $L_9$ mendapat penyiraman yang sama atau seragam, ukuran lubang 5 dan lubang 9 diubah sehingga perbandingan jari-jarinya adalah ... A. $2 : 5$ B. $2 : 3$ C. $2 : \sqrt{5}$ D. $\sqrt{5} : 2$ E. $5 : 4$

Pembahasan No. 4

Volume air yang diterima tanaman berbanding lurus dengan Keliling $(K)$ dan Luas Lubang $(A)$ . $V \approx K \cdot A$

Karena $K \approx R$ dan $A \approx J^2$ (dengan $J$ = jari-jari lubang), maka: $V \approx R \cdot J^2$

Agar penyiraman sama ( $V_5 = V_9$ ): $R_5 \cdot (J_5)^2 = R_9 \cdot (J_9)^2$ $\frac{(J_5)^2}{(J_9)^2} = \frac{R_9}{R_5} \rightarrow \frac{J_5}{J_9} = \sqrt{\frac{R_9}{R_5}} = \sqrt{\frac{4}{5}} = \frac{2}{\sqrt{5}}$

Jawaban: C

Nah itulah soal dan pembahasan dari paket soal Penalaran Matematika. Semoga bermanfaat!

TERIMA KASIH...

Dukung Kami Yuk