Geometri dan Kesebangunan

Jawaban: D

Lampu, titik $A$, dan titik $B$ semuanya berada pada dinding yang sama. Jika dinding kita lihat dari depan, sinar lampu yang melewati $A$ dan $B$ akan jatuh ke lantai di $A'$ dan $B'$, seperti pada gambar berikut.

$AB$ pada ketinggian $t$, bayangan $A'B'$ di lantai" />

Meja sejajar dengan lantai, sehingga $AB$ sejajar dengan $A'B'$. Akibatnya, segitiga kecil (lampu, $A$, $B$) sebangun dengan segitiga besar (lampu, $A'$, $B'$).

Misalkan tinggi meja dari lantai adalah $t$. Maka:
tinggi segitiga besar = jarak lampu ke lantai = $4$ m
tinggi segitiga kecil = jarak lampu ke meja = $(4 - t)$ m

Perbandingan alas sama dengan perbandingan tinggi:
$\begin{aligned} \frac{A'B'}{AB} &= \frac{4}{4 - t} \\ \frac{5/3}{1} &= \frac{4}{4 - t} \\ 5(4 - t) &= 3 \times 4 \\ 20 - 5t &= 12 \\ 5t &= 8 \\ t &= \frac{8}{5} = 1{,}6 \end{aligned}$

Jadi tinggi meja adalah 1,6 meter (D).

Jawaban: C

Meja sejajar dengan lantai, sehingga semua titik pada meja ($A$, $B$, dan $C$) berada pada ketinggian yang sama. Karena itu, bayangan segitiga $ABC$ adalah segitiga $A'B'C'$ yang bentuknya sama tetapi lebih besar, seperti terlihat dari atas pada gambar berikut.

Skala panjang sudah kita peroleh dari Nomor 1:
$k = \frac{A'B'}{AB} = \frac{5/3}{1} = \frac{5}{3}$

Pada bangun yang sebangun, perbandingan luas sama dengan kuadrat perbandingan panjang sisinya:
$k^2 = \left(\frac{5}{3}\right)^2 = \frac{25}{9}$

Luas bayangan meja:
$\begin{aligned} \text{Luas bayangan} &= k^2 \times \text{Luas meja} \\ &= \frac{25}{9} \times \frac{1}{2} \\ &= \frac{25}{18} \end{aligned}$

Karena $25 = 18 + 7$, maka $\frac{25}{18} = 1 \frac{7}{18}$.

Jadi luas bayangan meja adalah $1 \frac{7}{18}$ m² (C).

Jawaban: A

Belalang terbang sejajar dengan dinding dan lantai, jadi lintasannya sejajar dengan lintasan bayangannya. Sama seperti Nomor 1, segitiga yang dibentuk lampu dan lintasan belalang sebangun dengan segitiga yang dibentuk lampu dan lintasan bayangan.

$s$, bayangannya menempuh $2s$" />

Tinggi lampu dari lantai = 4 m.
Jarak lampu ke belalang = $4 - 2 = 2$ m.

Skala perbesaran:
$k = \frac{4}{2} = 2$

Artinya, jarak yang ditempuh bayangan selalu 2 kali lipat jarak yang ditempuh belalang.

Bayangan menempuh 4 m dalam 10 detik. Dengan kecepatan tetap, dalam 5 detik (setengah waktunya) bayangan menempuh $4 \div 2 = 2$ m.

Jarak sebenarnya yang ditempuh belalang dalam 5 detik:
$s = \frac{2 \text{ m}}{2} = 1 \text{ m}$

Jadi jarak sebenarnya yang ditempuh belalang adalah 1 meter (A).

Jawaban: C

Alas patung berada tepat di depan lampu, jadi kita cukup melihat dari samping (tegak lurus dinding). Panjang bayangan patung adalah selisih letak jatuhnya bayangan ujung atas patung dan bayangan ujung bawah patung (titik yang menempel pada alas).

Tinggi ujung bawah patung = tinggi alas = 1 m.
Tinggi ujung atas patung = $1 + 1,5 = 2,5$ m.

Misalkan sebuah titik pada ketinggian $h$ berjarak 2 m dari dinding, dan bayangannya jatuh di lantai pada jarak $x$ dari dinding. Dua segitiga siku-siku yang terbentuk sebangun:
segitiga kecil: tinggi $(4 - h)$, alas $2$
segitiga besar: tinggi $4$, alas $x$

$\begin{aligned} \frac{x}{2} &= \frac{4}{4 - h} \\ x &= \frac{8}{4 - h} \end{aligned}$

Bayangan ujung bawah ($h = 1$):
$x_1 = \frac{8}{4 - 1} = \frac{8}{3}$ m

Bayangan ujung atas ($h = 2,5$):
$x_2 = \frac{8}{4 - 2,5} = \frac{8}{1,5} = \frac{16}{3}$ m

Panjang bayangan patung:
$\begin{aligned} x_2 - x_1 &= \frac{16}{3} - \frac{8}{3} \\ &= \frac{8}{3} \end{aligned}$

Karena pilihan jawaban memakai penyebut 6, kita samakan penyebutnya: $\frac{8}{3} = \frac{16}{6}$.

Jadi panjang bayangan patung adalah $\frac{16}{6}$ meter (C).