Geometri dan Kesebangunan

Jawaban: B

Prinsip bayangan pada permukaan air membentuk dua segitiga siku-siku yang sebangun (sudut datang = sudut pantul). Segitiga pertama dibentuk oleh Pak Budi dan titik pantul $A'$, segitiga kedua dibentuk oleh gedung (titik $A$) dan titik pantul $A'$.

Tinggi Pak Budi ($h_1$) = 1,8 m.
Jarak Pak Budi ke titik pantul ($OA'$) = 1,5 m. (Catatan: nilai ini menimpa keterangan di teks awal khusus untuk soal ini).
Total jarak ke gedung ($OD$) = 40 m.
Jarak titik pantul ke gedung ($A'D$) = $40 - 1,5 = 38,5 \text{ m}$.

Gunakan perbandingan kesebangunan:
$\frac{\text{Tinggi Gedung}}{\text{Jarak Gedung ke } A'} = \frac{\text{Tinggi Pak Budi}}{\text{Jarak Pak Budi ke } A'}$

$\frac{\text{Tinggi Gedung}}{38,5} = \frac{1,8}{1,5}$
$\frac{\text{Tinggi Gedung}}{38,5} = 1,2$
$\text{Tinggi Gedung} = 38,5 \times 1,2 = 46,2 \text{ m}$

Jawaban: B

Titik $B$ berada di sudut lain gedung (bagian kiri atas). Lebar gedung adalah $DC = 30 \text{ m}$. Pak Budi berdiri lurus menatap $D$ dari jarak $40 \text{ m}$ ($OD \perp DC$).

Titik proyeksi $B$ di tanah adalah $C$. Maka, jarak mendatar total dari Pak Budi ($O$) ke proyeksi titik $B$ ($C$) membentuk sisi miring dari segitiga siku-siku $ODC$.
$OC = \sqrt{OD^2 + DC^2}$
$OC = \sqrt{40^2 + 30^2} = \sqrt{1600 + 900} = \sqrt{2500} = 50 \text{ m}$.

Pantulan titik $B'$ akan terletak di sepanjang garis lurus $OC$.
Misalkan jarak Pak Budi ke $B'$ adalah $OB'$. Maka jarak $B'$ ke gedung ($C$) adalah $(50 - OB')$.

Gunakan kesebangunan pantulan:
$\frac{\text{Tinggi Pak Budi}}{OB'} = \frac{\text{Tinggi Gedung } B}{B'C}$
$\frac{1,8}{OB'} = \frac{34,2}{50 - OB'}$

Sederhanakan dan kali silang:
$34,2 \times OB' = 1,8(50 - OB')$
$34,2 \times OB' = 90 - 1,8 \times OB'$
$36 \times OB' = 90$
$OB' = \frac{90}{36} = 2,5 \text{ m}$

Jawaban: D

Titik $M$ berada tepat di atas $B$, sehingga jalur proyeksi horisontalnya di tanah tetaplah garis $OC$ yang panjangnya $50 \text{ m}$.

Total ketinggian titik $M$ dari tanah = Tinggi Gedung + Tinggi Menara ($BM$)
Tinggi $M = 34,2 + BM$.

Jarak pantulan $M'$ dari Pak Budi ($OM'$) = 1,5 m.
Jarak pantulan $M'$ ke dasar gedung ($M'C$) = $50 - 1,5 = 48,5 \text{ m}$.

Gunakan kesebangunan pantulan:
$\frac{\text{Tinggi } M}{M'C} = \frac{\text{Tinggi Pak Budi}}{OM'}$
$\frac{34,2 + BM}{48,5} = \frac{1,8}{1,5}$

$\frac{34,2 + BM}{48,5} = 1,2$
$34,2 + BM = 48,5 \times 1,2$
$34,2 + BM = 58,2$
$BM = 58,2 - 34,2 = 24 \text{ m}$

Jawaban: D

Terdapat dua skenario pantulan dari soal ini. Misalkan jarak titik $H$ ke dinding gedung ($DH$) adalah $x$ dan tinggi noda $G$ adalah $t$.

Kondisi 1: Pengawas di $P$ melihat bayangan di $H$.
Jarak pengawas ke gedung = $DP = 10 \text{ m}$.[cite: 29]
Jarak pengawas ke titik pantul = $PH = 10 - x$.
Dengan kesebangunan: $\frac{t}{x} = \frac{2}{10 - x} \implies t = \frac{2x}{10 - x}$ ... (Persamaan 1)

Kondisi 2: Pengawas pindah ke $H$ melihat bayangan di $Q$.
Jarak pengawas ke gedung sekarang = $DH = x$.
Jarak pengawas ke titik pantul $Q$ = $QH = \frac{8}{5} \text{ m} = 1,6 \text{ m}$.[cite: 29]
Jarak pantul $Q$ ke gedung = $DQ = DH - QH = x - 1,6$.

Dengan kesebangunan: $\frac{t}{x - 1,6} = \frac{2}{1,6}$
$\frac{t}{x - 1,6} = 1,25 \implies t = 1,25(x - 1,6)$ ... (Persamaan 2)

Substitusikan Persamaan 1 dan 2:
$\frac{2x}{10 - x} = 1,25x - 2$
$2x = (10 - x)(1,25x - 2)$
$2x = 12,5x - 20 - 1,25x^2 + 2x$
$1,25x^2 - 12,5x + 20 = 0$

Bagi seluruh ruas dengan $1,25$ agar lebih mudah difaktorkan:
$x^2 - 10x + 16 = 0$
$(x - 8)(x - 2) = 0$
Diperoleh dua kemungkinan nilai $x$, yaitu $x = 2$ atau $x = 8$.

Mari kita uji kedua nilai tersebut ke dalam Persamaan 2 untuk mencari tinggi $t$:
- Jika $x = 2$, maka $t = 1,25(2 - 1,6) = 1,25(0,4) = 0,5 \text{ m}$. (Tidak ada di opsi)
- Jika $x = 8$, maka $t = 1,25(8 - 1,6) = 1,25(6,4) = 8 \text{ m}$.

Jadi, tinggi titik $G$ dari lantai adalah 8 meter.