Geometri dan Kesebangunan

Jawaban: E

Mari kita gunakan prinsip kesebangunan pada segitiga yang terbentuk dari sinar lampu. Kita dapat memandang ini sebagai grafik garis lurus, dengan dinding sebagai sumbu-y ($x=0$) dan jarak mendatar sebagai sumbu-x.

Tinggi bayangan di dinding ($y_1$) = $50 \text{ cm} = 0,5 \text{ m}$. Posisinya di $x = 0$.
Tinggi Fani ($y_2$) = $175 \text{ cm} = 1,75 \text{ m}$. Posisinya berjarak $1 \text{ m}$ dari dinding ($x = 1$).
Posisi tiang lampu = Jarak Fani ke lampu + jarak Fani ke dinding = $20 + 1 = 21 \text{ m}$ ($x = 21$).

Cahaya lampu merambat lurus melewati puncak kepala Fani hingga ke dinding. Gradien (kemiringan) garis cahaya ini adalah konstan:
$m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$
$m = \frac{1,75 - 0,5}{1 - 0} = 1,25$

Tinggi lampu ($H$) adalah nilai y saat posisinya di $x = 21$ m.
$H = y_1 + m \cdot (\text{Jarak dinding ke lampu})$
$H = 0,5 + 1,25(21)$
$H = 0,5 + 26,25 = 26,75 \text{ m}$

Jadi, tinggi lampu tersebut adalah 26,75 meter.

Jawaban: A

Lampu bertindak sebagai titik pusat proyeksi. Bayangan benda datar yang diproyeksikan ke dinding akan membesar secara proporsional sesuai kuadrat dari jaraknya.

Jarak sumber cahaya ke objek ($CL$) = $14 \text{ m}$.
Jarak sumber cahaya ke dinding (layar) = $AC + CL = 7 + 14 = 21 \text{ m}$.

Skala perbesaran panjang garis linier ($k$) adalah:
$k = \frac{\text{Jarak ke Dinding}}{\text{Jarak ke Objek}} = \frac{21}{14} = 1,5$ kali lipat.

Perbesaran Luas selalu mengikuti aturan $k^2$:
$\text{Skala Luas} = (1,5)^2 = 2,25$ kali lipat.

Luas papan pantul asli = $1 \text{ m} \times 1,8 \text{ m} = 1,8 \text{ m}^2$.
Maka, Luas Bayangan di dinding = $2,25 \times 1,8 = 4,05 \text{ m}^2$.

Jawaban: B

Gerakan Fani ke samping sejajar dengan dinding berarti pergerakannya diproyeksikan secara langsung oleh titik pusat lampu ke layar (dinding).

Sama dengan prinsip perbesaran di soal nomor 2, pergerakan ini bisa dihitung menggunakan skala perbesaran linier dari jarak posisi mereka ke lampu.

Jarak lampu ke Fani = $20 \text{ m}$.
Jarak lampu ke dinding = $20 + 1 = 21 \text{ m}$.
Skala perbesaran gerak mendatar ($k$) = $\frac{21}{20} = 1,05$.

Jika Fani bergerak secara riil sejauh 2 m, maka jarak tempuh bayangannya di dinding adalah:
$\text{Gerak Bayangan} = k \times \text{Gerak Fani}$
$\text{Gerak Bayangan} = 1,05 \times 2 = 2,10 \text{ m}$.

Jawaban: B

Garis $P'Q'$ adalah rentang jatuhnya bayangan sinar pada lantai akibat batas ketinggian bingkai atas jendela ($P$) dan bingkai bawah jendela ($Q$). Kita perlu mencari di mana sinar dari lampu yang melewati $P$ dan $Q$ menyentuh lantai (titik $y=0$).

Tinggi Lampu ($H$) = 21 m.
Jarak Lampu ke Dinding ($d$) = 20 m.
Ketinggian batas bawah jendela ($h_Q$) = $AQ = 1 \text{ m}$.
Ketinggian batas atas jendela ($h_P$) = $AP = 3 \text{ m}$.

Rumus posisi jatuhnya ujung sinar di lantai jika dihitung dari titik nol tiang lampu adalah: $x = \frac{H \cdot d}{H - h}$

1. Posisi jatuh sinar batas bawah jendela ($x_Q$):
$x_Q = \frac{21 \times 20}{21 - 1} = \frac{420}{20} = 21 \text{ m}$.

2. Posisi jatuh sinar batas atas jendela ($x_P$):
$x_P = \frac{21 \times 20}{21 - 3} = \frac{420}{18} = \frac{70}{3} = 23\frac{1}{3} \text{ m}$.

Panjang bayangan bingkai jendela vertikal di lantai ($P'Q'$) adalah jarak antara kedua titik jatuh tersebut:
$P'Q' = x_P - x_Q$
$P'Q' = 23\frac{1}{3} - 21 = 2\frac{1}{3} \text{ m}$.