Geometri dan Kesebangunan

Jawaban: C

Bayangan meja bundar di lantai merupakan hasil proyeksi kesebangunan dari titik lampu di langit-langit.

Jari-jari meja ($r_1$) = 1,5 m.
Jari-jari bayangan di lantai ($r_2$) = 2,5 m.
Tinggi meja ($h$) = 0,8 m.

Misalkan tinggi lampu dari lantai adalah $H$. Maka jarak lampu ke permukaan meja adalah $(H - 0,8)$.
Berdasarkan perbandingan kesebangunan segitiga:
$\frac{r_2}{r_1} = \frac{\text{Jarak Lampu ke Lantai}}{\text{Jarak Lampu ke Meja}}$

$\frac{2,5}{1,5} = \frac{H}{H - 0,8}$

Sederhanakan pecahan $\frac{2,5}{1,5}$ menjadi $\frac{5}{3}$:
$\frac{5}{3} = \frac{H}{H - 0,8}$
$5(H - 0,8) = 3H$
$5H - 4 = 3H$
$2H = 4$
$H = 2,0 \text{ m}$

Jawaban: B

Pertama, kita harus mencari tinggi meja yang baru menggunakan tinggi lampu ($H$) = 2,5 m (karena di soal ini ada kata "Misalkan", nilai 0,8 m dari soal sebelumnya tidak berlaku).
$\frac{r_2}{r_1} = \frac{H}{H - h_{\text{meja}}}$
$\frac{5}{3} = \frac{2,5}{2,5 - h_{\text{meja}}}$
$2,5 - h_{\text{meja}} = 1,5 \implies h_{\text{meja}} = 1,0 \text{ m} = 100 \text{ cm}$.

Sekarang, kita tentukan jarak vertikal dari lampu ke setiap objek:
- Jarak lampu ke lantai = $250 \text{ cm}$.
- Jarak lampu ke permukaan meja = $250 - 100 = 150 \text{ cm}$.
- Tinggi gelas = $10 \text{ cm}$, maka tinggi bagian atas gelas dari lantai = $110 \text{ cm}$.
- Jarak lampu ke bagian atas gelas = $250 - 110 = 140 \text{ cm}$.

Skala perbesaran linier dari atas gelas (sebagai benda) ke permukaan meja (sebagai layar bayangan) adalah:
$k = \frac{\text{Jarak ke Meja}}{\text{Jarak ke Atas Gelas}} = \frac{150}{140} = \frac{15}{14}$.

Karena yang ditanyakan adalah Perbandingan Luas, maka nilainya adalah kuadrat dari skala linier:
$\text{Rasio Luas} = 1 : k^2 = 1 : \left(\frac{15}{14}\right)^2$.

Jawaban: C

Mari kita selesaikan dengan pendekatan faktor skala dan koordinat kartesius agar bentuk sudut siku-sikunya mudah dibayangkan. Anggap titik $P$ (pusat di lantai bawah lampu) adalah titik asal $(0,0)$.

1. Menentukan Faktor Skala Proyeksi
Tinggi lampu ($H$) = 2,5 m.
Tinggi Ana ($h$) = 1,5 m.
Skala bayangan ujung kepala ke tanah ($k$) = $\frac{H}{H - h} = \frac{2,5}{2,5 - 1,5} = 2,5$.
Artinya, jarak bayangan di tanah selalu $2,5$ kali lipat jarak Ana dari titik $P$.

2. Menentukan Titik Koordinat
- Ana berada di titik $A$, berjarak 3 m dari $P$. Kita letakkan di sumbu-x, sehingga $A = (3, 0)$.
- Sudut $\angle PAB = 90^\circ$, artinya titik $B$ berada tegak lurus lurus ke atas (sumbu-y) dari titik $A$. Karena jarak $PB = 5 \text{ m}$ (sisi miring), dengan Tripel Pythagoras (3, 4, 5), tinggi $AB = 4 \text{ m}$. Maka, koordinat $B = (3, 4)$.

3. Menentukan Titik Bayangan
- $C$ adalah bayangan dari $A$, posisinya ditarik dari pusat $P(0,0)$ dan memanjang $2,5$ kali lipat posisinya.
$C = 2,5 \times (3, 0) = (7,5 ; 0)$.
- $C'$ adalah bayangan dari $B$.
$C' = 2,5 \times (3, 4) = (7,5 ; 10)$.

4. Jarak $CC'$
Karena $C(7,5 ; 0)$ dan $C'(7,5 ; 10)$ memiliki nilai koordinat x yang sama, jarak keduanya hanyalah selisih sumbu-y:
Jarak $CC' = 10 - 0 = 10 \text{ m}$.

Jawaban: D

Panjang bayangan sebuah garis vertikal (gelas) adalah selisih jatuhnya proyeksi sinar yang melewati ujung ATAS dan ujung BAWAH gelas di lantai.

Gelas kini digeser ke tepi meja. Artinya, jarak mendatar gelas dari pusat ($d$) sama dengan jari-jari meja, yaitu $1,5 \text{ m}$.
Tinggi Meja ($h_1$) = $1,0 \text{ m}$ (dari soal no.2). Ini setara dengan ketinggian BAWAH gelas.
Tinggi ATAS gelas ($h_2$) = $1,0 + 0,1 = 1,1 \text{ m}$.
Tinggi Lampu ($H$) = $2,5 \text{ m}$.

Gunakan rumus letak jarak bayangan: $x = \frac{H \cdot d}{H - h}$

Proyeksi ujung ATAS gelas ($x_2$):
$x_2 = \frac{2,5 \times 1,5}{2,5 - 1,1} = \frac{3,75}{1,4} = \frac{375}{140} \text{ m}$

Proyeksi ujung BAWAH gelas ($x_1$):
$x_1 = \frac{2,5 \times 1,5}{2,5 - 1,0} = \frac{3,75}{1,5} = 2,5 \text{ m} = \frac{350}{140} \text{ m}$

Panjang bayangan gelas di lantai:
$\text{Bayangan} = x_2 - x_1 = \frac{375}{140} - \frac{350}{140} = \frac{25}{140} \text{ m}$.