Geometri dan Kesebangunan

Jawaban: D

Kita dapat menggunakan perbandingan kesebangunan pada segitiga yang dibentuk oleh lampu, orang, dan titik jatuhnya bayangan di lantai ($Q$).

Diketahui:
Tinggi lampu dari lantai ($H$) = 6 m.
Jarak total dari proyeksi lampu di lantai ($P$) ke ujung bayangan ($Q$) = 10 m.
Orang berdiri 3 m dari titik $Q$. Maka, jarak orang tersebut ke titik $P$ adalah $10 - 3 = 7 \text{ m}$.

Berdasarkan prinsip kesebangunan (segitiga kecil orang-bayangan sebangun dengan segitiga besar lampu-bayangan):
$\frac{\text{Tinggi Orang}}{\text{Tinggi Lampu}} = \frac{\text{Jarak Orang ke } Q}{\text{Jarak } P \text{ ke } Q}$

$\frac{\text{Tinggi Orang}}{6} = \frac{3}{10}$
$\text{Tinggi Orang} = 6 \times \frac{3}{10} = \frac{18}{10} = 1,8 \text{ m}$

Ubah ke dalam satuan sentimeter:
$1,8 \text{ m} = 180 \text{ cm}$.

Jawaban: A

Mari kita gunakan sistem koordinat 3D sederhana untuk memudahkan bayangan ruangnya. Anggap titik $P$ adalah titik asal $(0, 0, 0)$.
- Lampu berada di $(0, 0, 6)$.
- Dinding cermin berada pada garis $y = 10$.
- Posisi awal orang (tinggi 1,8 m) adalah di garis $PQ$ sejauh 7 m dari $P$, yaitu di $(0, 7, 0)$. Ujung kepalanya di $(0, 7, 1,8)$.

Orang tersebut bergerak sejajar dinding (searah sumbu-x) sejauh 2 m. Posisi baru orang tersebut adalah di $(2, 7, 0)$ dan ujung kepalanya di $(2, 7, 1,8)$.

Sekarang kita cari perbandingan jarak horizontal (di lantai).
Jarak mendatar dari pusat lampu $(0,0)$ ke orang $(2,7)$ adalah $\sqrt{2^2 + 7^2} = \sqrt{53}$.
Sinar cahaya merambat lurus dari $(0,0)$ melewati $(2,7)$ hingga menabrak dinding di $y = 10$.
Dengan perbandingan segitiga datar (sumbu x dan y), jarak mendatar dari lampu ke dinding (layar) searah sinar tersebut adalah:
$\frac{10}{7} \times \text{Jarak ke orang} = \frac{10}{7} \sqrt{53}$.

Sekarang kita hitung kesebangunan vertikalnya (dimensi tinggi / sumbu-z):
$\frac{\text{Tinggi Lampu} - \text{Tinggi Orang}}{\text{Jarak Mendatar Orang}} = \frac{\text{Tinggi Lampu} - \text{Tinggi Bayangan di Dinding}}{\text{Jarak Mendatar Dinding}}$

$\frac{6 - 1,8}{\sqrt{53}} = \frac{6 - z_{\text{bayangan}}}{\frac{10}{7} \sqrt{53}}$

Coret $\sqrt{53}$ di kedua ruas bawah:
$4,2 = \frac{6 - z_{\text{bayangan}}}{\frac{10}{7}}$
$4,2 \times \frac{10}{7} = 6 - z_{\text{bayangan}}$
$\frac{42}{7} = 6 - z_{\text{bayangan}}$
$6 = 6 - z_{\text{bayangan}}$
$z_{\text{bayangan}} = 0 \text{ m}$

Karena tingginya 0 m, maka ujung bayangan kepalanya jatuh persis di sudut pertemuan lantai dan cermin (0 cm).

Jawaban: 0,25 m (Tidak ada di opsi)

Catatan: Berdasarkan perhitungan matematis murni dari angka-angka yang tertera pada teks, jawaban yang tepat adalah 0,25 m. Berikut adalah bukti perhitungannya:

Garis $LR$ berada di langit-langit (ketinggian 6 m). Hiasan digantung dari titik $C$ (berjarak 2 m mendatar dari lampu $L$) dengan tali 50 cm (0,5 m).
Maka, posisi hiasan secara vertikal berada pada ketinggian = $6 - 0,5 = 5,5 \text{ m}$ dari lantai.

Misalkan lampu diturunkan sejauh $x$ meter, maka tinggi lampu yang baru adalah $(6 - x)$ meter.
Jarak mendatar lampu ke hiasan = 2 m.
Jarak mendatar lampu ke dinding = 10 m.

Dengan menggunakan gradien kemiringan garis lurus dari Lampu $\rightarrow$ Hiasan $\rightarrow$ Bayangan di dinding:
$\frac{\text{Penurunan vertikal ke hiasan}}{\text{Jarak mendatar ke hiasan}} = \frac{\text{Penurunan vertikal ke dinding}}{\text{Jarak mendatar ke dinding}}$

$\frac{\text{Tinggi Lampu Baru} - \text{Tinggi Hiasan}}{2} = \frac{\text{Tinggi Lampu Baru} - \text{Tinggi Bayangan}}{10}$
$\frac{(6 - x) - 5,5}{2} = \frac{(6 - x) - 4,5}{10}$
$\frac{0,5 - x}{2} = \frac{1,5 - x}{10}$

Kalikan silang:
$10(0,5 - x) = 2(1,5 - x)$
$5 - 10x = 3 - 2x$
$5 - 3 = 10x - 2x$
$2 = 8x$
$x = \frac{2}{8} = 0,25 \text{ m}$

Lampu diturunkan sejauh 0,25 m (kemungkinan ada kesalahan pengetikan angka pada opsi soal asli).

Jawaban: A (atau C)

Istilah "bayangan kedua" merujuk pada bayangan yang terbentuk dari cahaya lampu yang memantul terlebih dahulu pada cermin, lalu mengenai orang tersebut dan jatuh ke lantai (titik $P$).

Dalam optik geometri, kita bisa menyelesaikan ini dengan membuat "lampu bayangan" (Lampu Virtual) di belakang cermin.
Karena lampu asli berada sejauh 10 m dari cermin, maka Lampu Virtual ($L'$) seolah-olah memancar dari belakang cermin dengan jarak yang sama (10 m di belakang cermin, atau total $10 + 10 = 20 \text{ m}$ secara mendatar dari titik $P$). Ketinggian $L'$ tetap 6 m.

Sinar dari $L'$ akan merambat lurus melewati puncak kepala orang tersebut (tinggi 1,6 m) dan menyentuh lantai tepat di titik $P$ (jarak 0 dari $P$).

Misalkan jarak orang tersebut dari titik $P$ adalah $y$.
Kita gunakan kesebangunan antara segitiga besar ($L'$ ke $P$) dan segitiga kecil (Ujung kepala orang ke $P$):
$\frac{\text{Tinggi Lampu } L'}{\text{Jarak Horizontal } L' \text{ ke } P} = \frac{\text{Tinggi Orang}}{\text{Jarak Horizontal Orang ke } P}$

$\frac{6}{20} = \frac{1,6}{y}$
$0,3 = \frac{1,6}{y}$
$y = \frac{1,6}{0,3} = \frac{16}{3} \text{ m}$

Pecahan $\frac{16}{3}$ jika disederhanakan menjadi pecahan campuran adalah $5\frac{1}{3} \text{ m}$.