Geometri dan Kesebangunan

Jawaban: E

Kita dapat menggunakan perbandingan kesebangunan pada segitiga siku-siku yang terbentuk antara lampu, Bagus, dan titik jatuhnya bayangan ($Q$).

Jarak total $PQ$ = 12 m.
Jarak Bagus dari titik $Q$ = 2 m.
Maka, jarak Bagus dari titik $P$ = $12 - 2 = 10 \text{ m}$.
Tinggi bahu Bagus = $150 \text{ cm} = 1,5 \text{ m}$.

Gunakan rumus kesebangunan segitiga:
$\frac{\text{Tinggi Lampu}}{\text{Tinggi Bahu Bagus}} = \frac{\text{Jarak } PQ}{\text{Jarak Bagus ke } Q}$

$\frac{H}{1,5} = \frac{12}{2}$
$\frac{H}{1,5} = 6$
$H = 6 \times 1,5 = 9,00 \text{ m}$

Jadi, tinggi langit-langit aula tersebut adalah 9,00 meter.

Jawaban: A

Sinar pantulan dari cermin dapat dianggap berasal dari Lampu Virtual ($L'$) yang berada di belakang cermin datar.
Jarak lampu asli ($L$) ke cermin ($Q$) adalah 12 m. Maka, posisi Lampu Virtual ($L'$) berada sejauh 12 m di kanan cermin $Q$ (atau 24 m dihitung dari titik $P$).

Misalkan titik $X$ berjarak $x$ meter dari titik $P$. Joni (tinggi 1,5 m) berdiri di titik $X$. Sinar pantulan dari $L'$ melewati puncak kepala Joni dan membentuk bayangan di lantai sepanjang 4,5 m ke arah kiri (menuju $P$).

Ujung bayangan Joni berada di titik $(x - 4,5)$ meter dari $P$.
Jarak mendatar Lampu Virtual $L'$ ke ujung bayangan tersebut adalah:
$24 - (x - 4,5) = 28,5 - x$

Gunakan kesebangunan segitiga antara Lampu Virtual dan Joni:
$\frac{\text{Tinggi Lampu Virtual}}{\text{Tinggi Joni}} = \frac{\text{Jarak } L' \text{ ke Ujung Bayangan}}{\text{Panjang Bayangan Joni}}$

$\frac{8}{1,5} = \frac{28,5 - x}{4,5}$

Kalikan kedua ruas dengan 4,5:
$8 \times 3 = 28,5 - x$
$24 = 28,5 - x$
$x = 28,5 - 24 = 4,5 \text{ m}$

Jadi, jarak $PX = 4,5 \text{ m}$ dan $XQ = 12 - 4,5 = 7,5 \text{ m}$.
Rasio $PX : XQ = 4,5 : 7,5 = 3 : 5$.

Jawaban: D

Bagus berdiri 2 m dari dinding $Q$ (atau 10 m dari dasar lampu $P$).
Tinggi lampu = 9 m.
Tinggi kepala Bagus = $175 \text{ cm} = 1,75 \text{ m}$.

Mari kita hitung laju penurunan sinar lampu dari puncak ke kepala Bagus:
Penurunan tinggi = $9 - 1,75 = 7,25 \text{ m}$ dalam jarak mendatar 10 m.
Tingkat penurunan sinar per meter = $\frac{7,25}{10} = 0,725 \text{ m/m}$.

Sinar merambat terus hingga menabrak dinding di jarak 12 m dari titik $P$:
Total penurunan sinar di dinding = $12 \times 0,725 = 8,7 \text{ m}$.

Tinggi bayangan kepala Bagus di dinding diukur dari lantai adalah:
$\text{Tinggi Bayangan} = 9 - 8,7 = 0,3 \text{ m}$.

Jawaban: C

Tinggi lampu ($H$) = 8 m di titik $P$.
Jarak horizontal titik $X$ dari $P$ = 8 m.
Jarak lampu ke titik gantung hiasan = 10 m.

Gunakan rumus Pythagoras untuk mencari kedalaman titik gantung dari puncak lampu:
$\text{Kedalaman} = \sqrt{10^2 - 8^2} = \sqrt{100 - 64} = \sqrt{36} = 6 \text{ m}$.

Berdasarkan prinsip kesebangunan proyeksi bayangan dari titik $P$ ke dinding $Q$ (jarak 12 m):
$\text{Skala Perbesaran } (k) = \frac{\text{Jarak } PQ}{\text{Jarak } PX} = \frac{12}{8} = 1,5$

Panjang bayangan hiasan di dinding dihitung dari skala dikalikan panjang hiasan asli ($t$):
$\text{Panjang Bayangan} = k \times t$
$4 = 1,5 \times t$
$t = \frac{4}{1,5} = \frac{8}{3} = 2\frac{2}{3} \text{ m}$.