Geometri dan Kesebangunan

Jawaban: A

Kita dapat menggunakan prinsip kesebangunan segitiga siku-siku vertikal yang dibentuk oleh tinggi lampu, tinggi Kris, dan panjang bayangan di lantai.

Tinggi Lampu ($H$) = 12 m.
Tinggi Kris ($h$) = $180 \text{ cm} = 1,8 \text{ m}$.
Panjang bayangan Kris ($s_b$) = 3,6 m.

Gunakan perbandingan kesebangunan:
$\frac{\text{Jarak Lampu ke Kris}}{\text{Panjang Bayangan Kris}} = \frac{\text{Tinggi Lampu} - \text{Tinggi Kris}}{\text{Tinggi Kris}}$

$\frac{\text{Jarak Lampu ke Kris}}{3,6} = \frac{12 - 1,8}{1,8}$
$\frac{\text{Jarak Lampu ke Kris}}{3,6} = \frac{10,2}{1,8}$
$\frac{\text{Jarak Lampu ke Kris}}{3,6} = \frac{17}{3}$
$\text{Jarak Lampu ke Kris} = 3,6 \times \frac{17}{3} = 1,2 \times 17 = 20,4 \text{ m}$

Jadi, jarak Kris dari tiang lampu adalah 20,4 meter.

Jawaban: B

Pandang proyeksi lintasan sinar di atas permukaan tanah (bidang 2D datar).

Panjang bayangan Kris ($KA$) = 3,6 m.
Jarak tegak lurus titik $A$ ke sisi jalan = 2,7 m.
Maka, nilai sinus sudut kemiringan lintasan sinar terhadap garis jalan ($\theta$) adalah:
$\sin\theta = \frac{2,7}{3,6} = \frac{3}{4}$

Karena lintasan sinar dari lampu ke Kris dan ke titik $A$ berada dalam satu garis lurus, sudut kemiringan garis dari lampu ke Kris terhadap jalan juga sebesar $\theta$.

Jarak Kris ke lampu ($LK$) = 16 m.
Lebar jalan raya ($W$) merupakan komponen jarak tegak lurus antara kedua sisi jalan:
$W = LK \times \sin\theta = 16 \times \frac{3}{4} = 12,0 \text{ m}$

Jadi, lebar jalan raya tersebut adalah 12,0 meter.

Jawaban: E

Tinggi tiang lampu ($H$) = 7,2 m.
Tinggi Kris ($h$) = 1,8 m.

Proyeksi bayangan ujung kepala Kris dihitung dari titik pusat tiang lampu memiliki skala perbesaran linier ($k$):
$k = \frac{H}{H - h} = \frac{7,2}{7,2 - 1,8} = \frac{7,2}{5,4} = \frac{4}{3}$

Artinya, untuk setiap pergerakan atau jarak tempuh Kris ($s_{\text{Kris}}$), jarak yang ditempuh oleh ujung bayangannya ($s_{\text{bayangan}}$) adalah $\frac{4}{3}$ kali lipatnya:
$s_{\text{bayangan}} = \frac{4}{3} \cdot s_{\text{Kris}}$

Maka perbandingan jarak tempuh Kris terhadap jarak tempuh ujung bayangannya adalah:
$s_{\text{Kris}} : s_{\text{bayangan}} = 1 : \frac{4}{3} = 3 : 4$

Jawaban: C

Tinggi tiang lampu ($H$) = 10 m.
Jarak posisi Kris dari dasar tiang lampu ($d$) = 36 m.

Rumus letak jatuhnya bayangan kelereng di lantai jika dihitung dari dasar tiang lampu ($x$) adalah:
$x = \frac{H \cdot d}{H - h} = \frac{10 \times 36}{10 - h} = \frac{360}{10 - h}$

1. Posisi bayangan saat kelereng lepas dari tangan ($h_0 = 1 \text{ m}$):
$x_0 = \frac{360}{10 - 1} = \frac{360}{9} = 40 \text{ m}$

2. Posisi bayangan saat kelereng mencapai puncak maksimum ($h_{\max}$):
Karena bayangan bergerak sejauh 5 m saat kelereng naik ke puncak:
$x_{\max} = x_0 + 5 = 40 + 5 = 45 \text{ m}$

Substitusikan nilai $x_{\max} = 45 \text{ m}$ ke dalam rumus untuk mencari $h_{\max}$:
$\frac{360}{10 - h_{\max}} = 45$
$10 - h_{\max} = \frac{360}{45} = 8$
$h_{\max} = 10 - 8 = 2,0 \text{ m}$

Jadi, tinggi maksimum kelereng dari tanah adalah 2,0 meter.