Geometri dan Kesebangunan

Jawaban: D

Sinar dari lampu memproyeksikan tiang ke atas permukaan jalan mendatar. Jarak bayangan yang sejajar di lantai memiliki skala perbesaran ($k$) yang sama dengan perbesaran tinggi proyeksinya.

Diketahui:
Jarak antar tiang = 2 m.
Jarak antar ujung bayangan ($A$ ke $B$) = 5 m.

Maka, skala perbesaran proyeksi ($k$) adalah:
$k = \frac{\text{Jarak Bayangan}}{\text{Jarak Benda}} = \frac{5}{2} = 2,5$

Rumus skala perbesaran proyeksi dari lampu ke lantai adalah:
$k = \frac{\text{Tinggi Lampu}}{\text{Tinggi Lampu} - \text{Tinggi Tiang}}$

Masukkan nilai $k = 2,5$ dan tinggi tiang = 4 m:
$\frac{H}{H - 4} = 2,5$
$H = 2,5(H - 4)$
$H = 2,5H - 10$
$1,5H = 10$
$H = \frac{10}{1,5} = \frac{20}{3} = 6\frac{2}{3} \text{ m}$

Jawaban: B

Kita asumsikan skala perbesaran proyeksi tetap sama, yaitu $k = 2,5$.
Misalkan lebar jalan dari median (lampu) ke pinggir jalan (tiang) adalah $w$ (setengah dari lebar total jalan dua arah).

Berdasarkan skala $k = 2,5$, letak jatuh bayangan $B$ jika diukur dari tengah median (pusat lampu) adalah $2,5w$.

Jarak titik $B$ dari pinggir jalan adalah selisih antara jarak jatuhnya bayangan dengan jarak tiang itu sendiri ke median:
$\text{Jarak dari pinggir} = 2,5w - w = 1,5w$

Diketahui jarak tersebut adalah 6 m, maka:
$1,5w = 6$
$w = \frac{6}{1,5} = 4 \text{ m}$

Karena $w$ adalah jarak dari tengah median ke pinggir jalan (setengah lebar), maka total lebar jalan raya adalah:
$\text{Lebar Jalan} = 2w = 2 \times 4 = 8 \text{ m}$.

Jawaban: E

Berdasarkan jarak antar tiang (2 m) dan antar bayangan $A$ ke $B$ (5 m), skala perbesaran tetap $k = 2,5$.
Mari kita buat garis bilangan searah sumbu-x mendatar (sejajar jalan). Anggap Lampu 1 berada di titik $x = 0$.

Lampu 2 berada sejauh $D$ meter dari Lampu 1, sehingga posisinya di $x = D$.
Misalkan Tiang 1 berada pada titik horisontal $x_1$, maka Tiang 2 berada di $x_1 + 2$.

Bayangan $A$ diproyeksikan oleh Lampu 1 (dari titik 0), sehingga titik ujung bayangan $A$ berada di:
$x_A = 2,5 \cdot x_1$

Bayangan $B'$ diproyeksikan oleh Lampu 2 (dari titik $D$), sehingga titik ujung bayangan $B'$ menjauh dari $D$:
$x_{B'} = D + 2,5 \cdot (\text{Posisi Tiang 2} - \text{Posisi Lampu 2})$
$x_{B'} = D + 2,5(x_1 + 2 - D)$

Berdasarkan gambar, titik $B'$ berada di sebelah kiri titik $A$. Maka jarak $A$ ke $B'$ adalah selisih ordinatnya:
$x_A - x_{B'} = 15$
$2,5 x_1 - [D + 2,5 x_1 + 5 - 2,5D] = 15$
$2,5 x_1 - D - 2,5 x_1 - 5 + 2,5D = 15$

Perhatikan bahwa variabel $x_1$ saling meniadakan, menyisakan:
$1,5D - 5 = 15$
$1,5D = 20$
$D = \frac{20}{1,5} = \frac{40}{3} = 13\frac{1}{3} \text{ m}$

Jawaban: C

Tinggi tiang lampu ($H$) = 5 m. Tinggi penyangga rambu ($h$) = 3 m.
Panjang bayangan murni dari sebuah tiang tegak di lantai (mulai dari dasar tiang sampai ujung proyeksi) dirumuskan dengan:
$\text{Panjang Bayangan} = d \cdot \frac{h}{H - h}$, di mana $d$ adalah jarak datar tiang ke sumber cahaya.

Diketahui bayangan tiang 1 ($PA$) = 9 m:
$9 = d \cdot \frac{3}{5 - 3} = d \cdot \frac{3}{2}$
$d = 9 \cdot \frac{2}{3} = 6 \text{ m}$. (Jarak lampu 1 ke tiang 1 adalah 6 m).

Papan rambu dipasang pada bagian ujung atas tiang. Karena papan berukuran tinggi $x$ meter, maka batas BAWAH papan tersebut berada pada ketinggian $(3 - x)$ meter.
Bayangan batas bawah papan jatuh pada titik $D$, sehingga panjang garis $PD$ adalah bayangan tiang setinggi $(3 - x)$ meter:
$PD = 6 \cdot \frac{3 - x}{5 - (3 - x)} = 6 \cdot \frac{3 - x}{2 + x}$

Dari gambar, ujung terluar $A$ berjarak 9 m dari tiang, dan jarak bayangan papan $AD = 3$ m. Maka, posisi bayangan ujung bawah papan ($PD$) adalah:
$PD = PA - AD = 9 - 3 = 6 \text{ m}$.

Substitusikan nilai $PD = 6$ ke persamaan sebelumnya:
$6 = 6 \cdot \frac{3 - x}{2 + x}$
$1 = \frac{3 - x}{2 + x}$
$2 + x = 3 - x$
$2x = 1$
$x = 0,5 \text{ m}$

Karena diminta dalam satuan cm, maka ukurannya adalah 50 cm.