Geometri dan Kesebangunan

Jawaban: D

Soal ini dapat diselesaikan dengan prinsip kesebangunan segitiga siku-siku antara tiang lampu PJU dan tiang di titik $D$.

Diketahui:
Tinggi tiang $D$ ($h$) = 3 m.
Jarak lampu ke tiang $D$ ($d$) = 5 m.
Panjang bayangan tiang $D$ ($s$) = 7,5 m.

Rumus perbandingan kesebangunan total lintasan di tanah terhadap tinggi objek adalah:
$\frac{\text{Tinggi Lampu PJU } (H)}{\text{Tinggi Tiang } (h)} = \frac{\text{Jarak ke Tiang } + \text{Panjang Bayangan}}{\text{Panjang Bayangan}}$

$\frac{H}{3} = \frac{5 + 7,5}{7,5}$
$\frac{H}{3} = \frac{12,5}{7,5}$

Sederhanakan pecahan di ruas kanan (sama-sama dibagi 2,5):
$\frac{H}{3} = \frac{5}{3}$
$H = 3 \times \frac{5}{3} = 5,0 \text{ m}$

Jadi, tinggi tiang lampu PJU adalah 5,0 m.

Jawaban: A

Pertama, kita harus mencari jarak mendatar dari lampu PJU ($L$) ke tiang $C$.
Garis $CD$ (lebar jalan $B$) tegak lurus dengan tepi jalan tempat titik $L$ berada. Dengan demikian, terbentuk segitiga siku-siku $LCD$ dengan sisi miring $LD = 5 \text{ m}$ dan sisi tegak $CD = 4 \text{ m}$.
Menggunakan Teorema Pythagoras:
$LC = \sqrt{LD^2 - CD^2} = \sqrt{5^2 - 4^2} = \sqrt{25 - 16} = \sqrt{9} = 3 \text{ m}$.

Kemudian, bayangan dari ujung tiang $C$ tepat menyentuh dasar tembok bangunan. Ini berarti panjang bayangan tiang di tanah sama dengan jarak dari tiang $C$ ke dasar tembok.
Misalkan jarak dari tiang $C$ ke dasar tembok adalah $x$.

Gunakan kesebangunan perbesaran bayangan:
$\frac{\text{Tinggi Lampu } (H)}{\text{Tinggi Tiang } C (h)} = \frac{\text{Jarak } LC + \text{Jarak } x}{\text{Jarak } x}$

$\frac{7}{4} = \frac{3 + x}{x}$
$7x = 4(3 + x)$
$7x = 12 + 4x$
$3x = 12$
$x = 4 \text{ m}$

Jarak tiang $C$ ke dasar tembok ($x$) melintasi lebar jalan $A$ dan trotoar:
$x = \text{Lebar Jalan A} + \text{Lebar Trotoar}$
$4 = \text{Lebar Jalan A} + 1$
$\text{Lebar Jalan A} = 4 - 1 = 3 \text{ m}$.

Jawaban: C

(Catatan: Terdapat potensi saltik penulisan satuan "cm" pada soal asli di ujian, namun melihat seluruh opsi jawaban menggunakan angka satuan m, kita selesaikan dalam besaran meter).

Dari perhitungan di Nomor 2, kita tahu bahwa jarak dari lampu ($L$) ke tiang ($C$) adalah $LC = 3 \text{ m}$.
Jarak tiang $C$ ke dinding = Lebar jalan $A$ + Trotoar = $4 + 1 = 5 \text{ m}$.
Maka, total jarak horizontal dari lampu $L$ ke dinding adalah $3 + 5 = 8 \text{ m}$.

Kita dapat menghitung tingkat gradien penurunan sinar cahaya dari lampu melewati ujung tiang $C$:
Penurunan vertikal dari $L$ ke $C$ = $4 \text{ m} - 3 \text{ m} = 1 \text{ m}$.
Penurunan 1 m ini terjadi dalam jarak mendatar 3 m. Artinya, laju penurunan sinarnya adalah $\frac{1}{3} \text{ m}$ untuk setiap 1 meter mendatar.

Sinar tersebut terus merambat dari titik $C$ menuju dinding (sejauh 5 meter lagi).
Maka, total penurunan tambahan dari titik $C$ ke dinding adalah:
$\text{Penurunan Tambahan} = 5 \times \frac{1}{3} = \frac{5}{3} \text{ m}$.

Ketinggian bayangan di dinding diukur dari lantai adalah tinggi tiang $C$ dikurangi penurunan tambahan tersebut:
$\text{Tinggi Bayangan} = 3 - \frac{5}{3} = \frac{9}{3} - \frac{5}{3} = \frac{4}{3} \text{ m}$.

Jika diubah menjadi pecahan campuran, hasilnya adalah $1\frac{1}{3} \text{ m}$.

Jawaban: D

Tinggi lampu PJU ($H$) = 4,5 m.
Jarak berdiri dari lampu ($d$) = 2 m.
Tinggi Ibnu ($h_I$) = 150 cm = 1,5 m.

1. Menghitung Panjang Bayangan Ibnu:
$s_I = \frac{h_I \times d}{H - h_I}$
$s_I = \frac{1,5 \times 2}{4,5 - 1,5} = \frac{3}{3} = 1 \text{ m}$ (atau 100 cm).

2. Menghitung Tinggi Dodi:
Panjang bayangan Dodi ($s_D$) lebih panjang 25 cm, sehingga $s_D = 100 \text{ cm} + 25 \text{ cm} = 125 \text{ cm} = 1,25 \text{ m}$.
Kita gunakan panjang bayangan tersebut untuk mencari tinggi Dodi ($h_D$):
$\frac{H}{h_D} = \frac{d + s_D}{s_D}$
$\frac{4,5}{h_D} = \frac{2 + 1,25}{1,25} = \frac{3,25}{1,25}$

Sederhanakan ruas kanan dengan membagi 0,25:
$\frac{4,5}{h_D} = \frac{13}{5}$
$13 \cdot h_D = 4,5 \times 5 = 22,5$
$h_D = \frac{22,5}{13} = \frac{45}{26} \text{ m}$.

3. Menghitung Selisih Tinggi:
Ubah tinggi Ibnu ke dalam bentuk pecahan berpenyebut 26:
$h_I = 1,5 = \frac{3}{2} = \frac{39}{26} \text{ m}$.

Maka, selisih tinggi keduanya adalah:
$\Delta h = h_D - h_I = \frac{45}{26} - \frac{39}{26} = \frac{6}{26} \text{ m}$.
Sederhanakan pecahan tersebut menjadi $\frac{3}{13} \text{ m}$.