Kertas Berpetak

Paket 01

Estimasi waktu pengerjaan: 5 menit

Teks Pendukung

Kertas berpetak memiliki ukuran $8 \times 8$ petak. Pada baris pertama, petak pertama (paling kiri) ditulis dengan 1, petak kedua bilangan 2, petak ketiga bilangan 4, petak keempat bilangan 8, demikian seterusnya sampai petak kedelapan ditulis bilangan 128. Pola baris kedua mengikuti pola baris pertama yang dimulai dengan bilangan 256 dan seterusnya sampai baris ke-8.

Nomor 1

Jika $K_n$ menyatakan bilangan pada petak pertama baris ke- $n$ , maka $K_n = \dots$

A. $2^{n-1}, n = 1, 2, \dots, 8$
B. $2^{8n-1}, n = 1, 2, \dots, 8$
C. $2n-1, n = 1, 2, \dots, 8$
D. $2^{8n-8}, n = 1, 2, \dots, 8$
E. $2n^2 - 3n + 2, n = 1, 2, \dots, 8$

Lihat Pembahasan

Jawaban: D

Mari kita temukan pola dasar dari urutan bilangan tersebut. Deret angkanya adalah: $1, 2, 4, 8, 16, 32, \dots$
Ini adalah deret perpangkatan 2, yang bisa ditulis sebagai:
$2^0, 2^1, 2^2, 2^3, 2^4, \dots$

Artinya, nilai pada petak ke- $m$ (jika dihitung berurutan dari 1 sampai 64) adalah $2^{m-1}$ .

Sekarang, kita cari rumus untuk petak pertama di baris ke- $n$ .
Karena setiap baris berisi 8 petak, maka posisi (urutan) petak pertama pada baris ke- $n$ adalah:
$m = 8(n - 1) + 1$

Maka, nilai pada petak tersebut adalah:
$K_n = 2^{m-1}$
$K_n = 2^{(8(n - 1) + 1) - 1}$
$K_n = 2^{8n - 8 + 1 - 1}$
$K_n = 2^{8n - 8}$

Nomor 2

Pilihlah jawaban pada kolom di sebelah kanan pernyataan yang sesuai dengan jawaban.

Pernyataan	Ya	Tidak
Bilangan pada petak ke-3 baris ke-2 adalah 512.
Jumlah bilangan pada petak pertama sampai ke-5 baris pertama adalah 31.
Bilangan pada baris ke-8 petak ke-8 adalah $2^{64}$ .

Lihat Pembahasan

Ingat, posisi urutan absolut ( $m$ ) untuk baris ke- $b$ dan petak ke- $p$ adalah: $m = 8(b-1) + p$ . Nilainya adalah $2^{m-1}$ .

Pernyataan 1: TIDAK
Baris 2, petak 3 $\rightarrow m = 8(2-1) + 3 = 11$ .
Nilai petak ke-11 adalah $2^{11-1} = 2^{10} = 1024$ (Bukan 512).

Pernyataan 2: YA
Petak 1 sampai 5 adalah: $2^0 + 2^1 + 2^2 + 2^3 + 2^4$
$1 + 2 + 4 + 8 + 16 = 31$ .

Pernyataan 3: TIDAK
Baris 8, petak 8 $\rightarrow m = 8(8-1) + 8 = 64$ .
Nilai petak ke-64 adalah $2^{64-1} = 2^{63}$ (Bukan $2^{64}$ ).

Nomor 3

Hasil bagi bilangan pada petak pertama baris ketiga dengan bilangan pada petak kelima baris kedua adalah...

A. 4
B. 8
C. 16
D. 32
E. 64

Lihat Pembahasan

Jawaban: C

Nilai petak pertama baris ke-3:
Posisi urutan ( $m$ ) = $8(3-1) + 1 = 17$
Nilai = $2^{17-1} = 2^{16}$

Nilai petak ke-5 baris ke-2:
Posisi urutan ( $m$ ) = $8(2-1) + 5 = 13$
Nilai = $2^{13-1} = 2^{12}$

Hasil bagi:
$\frac{2^{16}}{2^{12}} = 2^{16-12} = 2^4 = 16$

Nomor 4

Jika bilangan pada petak ke- $n$ baris pertama dibagi dengan $2^{2n-2}, n=1,2,3,\dots,8$ , jumlah bilangan pada baris pertama adalah...

A. $\frac{255}{256}$
B. $\frac{255}{128}$
C. $\frac{127}{256}$
D. $\frac{127}{128}$
E. $\frac{127}{64}$

Lihat Pembahasan

Jawaban: B

Bilangan pada petak ke- $n$ baris pertama adalah $2^{n-1}$ .
Sesuai instruksi soal, bilangan ini dibagi dengan $2^{2n-2}$ :
$\frac{2^{n-1}}{2^{2n-2}} = 2^{(n-1) - (2n-2)}$
$= 2^{n - 1 - 2n + 2}$
$= 2^{1 - n} = (\frac{1}{2})^{n-1}$

Jika kita jabarkan untuk $n = 1$ sampai $8$ , deretnya menjadi:
$(\frac{1}{2})^0 + (\frac{1}{2})^1 + (\frac{1}{2})^2 + \dots + (\frac{1}{2})^7$
$1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \dots + \frac{1}{128}$

Ini adalah deret geometri dengan suku pertama ( $a$ ) = 1, rasio ( $r$ ) = $\frac{1}{2}$ , dan banyak suku ( $n$ ) = 8. Kita hitung jumlahnya ( $S_8$ ):
$S_n = \frac{a(1 - r^n)}{1 - r}$
$S_8 = \frac{1 \cdot (1 - (1/2)^8)}{1 - 1/2}$
$S_8 = \frac{1 - 1/256}{1/2}$
$S_8 = \frac{255/256}{1/2} = \frac{255}{256} \times 2 = \frac{255}{128}$

Nah itulah soal dan pembahasan dari paket soal Penalaran Matematika.

Semoga bermanfaat! Jangan berhenti belajar dan mencoba hal baru, bagikan pembahasan soal dari kami ke teman-temanmu agar mereka juga tahu dan bisa ikut belajar bersama kami.

TERIMA KASIH...

Komentar (0)

Memuat komentar...