Kombinatronika dan Peluang

Jawaban: D

Karena jabatan panitia inti memiliki posisi yang spesifik (Ketua, Wakil Ketua, Bendahara, Sekretaris), kita menggunakan aturan perkalian bersyarat (Permutasi).

Total wakil keluarga = 20 orang (8 Utara, 12 Selatan).
Posisi yang tersedia: [ Ketua ] $\times$ [ Wakil Ketua ] $\times$ [ Bendahara ] $\times$ [ Sekretaris ]

Syarat pemilihan:
1. Ketua harus dari Utara: Ada 8 pilihan.
2. Wakil Ketua harus dari Selatan: Ada 12 pilihan.
3. Bendahara bebas (dari sisa 18 orang): 18 pilihan.
4. Sekretaris bebas (dari sisa 17 orang): 17 pilihan.

Banyak cara = $8 \times 12 \times 18 \times 17 = 29.376$ cara.

Jawaban: A

Pemilihan penyanyi tidak memedulikan urutan atau posisi jabatan, sehingga kita menggunakan Kombinasi.

Ruang Sampel (Memilih 4 orang bebas dari 20 orang):
$n(S) = C(20, 4) = \frac{20 \times 19 \times 18 \times 17}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 5 \times 19 \times 3 \times 17 = 4.845$

Titik Sampel (Memilih 4 orang dari 8 orang Utara):
$n(A) = C(8, 4) = \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 2 \times 7 \times 5 = 70$

Peluang (P):
$P(A) = \frac{n(A)}{n(S)} = \frac{70}{4.845}$ (Bagi pembilang dan penyebut dengan 5)
$P(A) = \frac{14}{969}$

Jawaban: D

Seperti nomor sebelumnya, pemilihan wakil kelurahan tidak memedulikan urutan, jadi kita menggunakan Kombinasi.

Ruang Sampel (Memilih 3 dari 20 orang):
$n(S) = C(20, 3) = \frac{20 \times 19 \times 18}{3 \times 2 \times 1} = 1.140$

Kondisi 1: (1 orang Utara DAN 2 orang Selatan)
$= C(8, 1) \times C(12, 2) = 8 \times \frac{12 \times 11}{2 \times 1} = 8 \times 66 = 528$ cara.

Kondisi 2: (Ketiganya orang Selatan)
$= C(12, 3) = \frac{12 \times 11 \times 10}{3 \times 2 \times 1} = 220$ cara.

Total Titik Sampel (Kondisi 1 ATAU Kondisi 2):
$n(A) = 528 + 220 = 748$ cara.

Peluang:
$P(A) = \frac{748}{1.140}$ (Sama-sama dibagi 4)
$P(A) = \frac{187}{285}$

Jawaban: C

Karena ini adalah pemilihan pengurus dengan jabatan spesifik, kita kembali menggunakan Permutasi (aturan tempat/posisi).

Ruang Sampel (Menyusun 4 pengurus dari 20 orang):
$n(S) = P(20, 4) = 20 \times 19 \times 18 \times 17 = 116.280$ cara.

Syarat yang diminta:
- Ketua dan Wakil terpisah (satu dari Utara, satu dari Selatan).
- Bendahara dan Sekretaris keduanya harus dari Selatan.
Terdapat 2 skenario yang memenuhi syarat ini:

Skenario 1 (Ketua U, Wakil S, Bendahara S, Sekretaris S):
Ketua = 8 U
Wakil = 12 S
Bendahara = 11 S (Karena 1 S sudah menjadi wakil)
Sekretaris = 10 S (Karena 2 S sudah menjadi wakil dan bendahara)
Banyak cara = $8 \times 12 \times 11 \times 10 = 10.560$ cara.

Skenario 2 (Ketua S, Wakil U, Bendahara S, Sekretaris S):
Ketua = 12 S
Wakil = 8 U
Bendahara = 11 S (Karena 1 S sudah menjadi ketua)
Sekretaris = 10 S (Karena 2 S sudah menjadi ketua dan bendahara)
Banyak cara = $12 \times 8 \times 11 \times 10 = 10.560$ cara.

Total Titik Sampel = $10.560 + 10.560 = 21.120$

Peluang:
$P(A) = \frac{21.120}{116.280}$ (Bagi dengan 120)
$P(A) = \frac{176}{969}$