Kombinatronika dan Peluang

Jawaban: D

Karena pemilihan RT untuk diberi bantuan tidak memedulikan urutan atau jabatan, kita menggunakan Kombinasi.

Terdapat 11 RT di Barat dan 10 RT di Timur.
Posisi yang dicari: Memilih 2 RT Barat DAN 2 RT Timur.

Banyak cara memilih 2 RT Barat dari 11 RT:
$C(11, 2) = \frac{11 \times 10}{2 \times 1} = 55$ cara.

Banyak cara memilih 2 RT Timur dari 10 RT:
$C(10, 2) = \frac{10 \times 9}{2 \times 1} = 45$ cara.

Total banyak cara:
$55 \times 45 = 2.475$ cara.

Jawaban: C

Pertama, kita harus memperbarui jumlah RT yang tersisa karena 2 RT Barat dan 2 RT Timur sudah diberi bantuan.
- Sisa RT Barat = $11 - 2 = 9$ RT
- Sisa RT Timur = $10 - 2 = 8$ RT
- Total RT tersisa = $9 + 8 = 17$ RT

Pemilihan kali ini dilakukan secara berurutan, sehingga kita menggunakan aturan peluang bersyarat (tanpa pengembalian, karena RT yang sudah dapat bantuan tidak akan dipilih lagi).

Peluang urutan (Barat - Timur - Barat):
1. Peluang Barat pertama: $\frac{9}{17}$
2. Peluang Timur kedua (Sisa total RT menjadi 16): $\frac{8}{16}$
3. Peluang Barat ketiga (Sisa RT Barat menjadi 8, sisa total RT menjadi 15): $\frac{8}{15}$

Peluang Total:
$P = \frac{9}{17} \times \frac{8}{16} \times \frac{8}{15}$
$P = \frac{9}{17} \times \frac{1}{2} \times \frac{8}{15}$
$P = \frac{72}{510}$ (Bagi pembilang dan penyebut dengan 6)
$P = \frac{12}{85}$

Jawaban: E

Memilih sekaligus (acak) tanpa memperhatikan urutan, kita menggunakan Kombinasi.

Ruang Sampel (Memilih 4 RT dari total 21 RT):
$n(S) = C(21, 4) = \frac{21 \times 20 \times 19 \times 18}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 5.985$ cara.

Ada dua kemungkinan kondisi yang diminta (dihubungkan dengan kata ATAU, maka nanti dijumlahkan):

Kondisi 1: (1 RT Barat DAN 3 RT Timur)
$= C(11, 1) \times C(10, 3) = 11 \times \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 11 \times 120 = 1.320$ cara.

Kondisi 2: (3 RT Barat DAN 1 RT Timur)
$= C(11, 3) \times C(10, 1) = \frac{11 \times 10 \times 9}{3 \times 2 \times 1} \times 10 = 165 \times 10 = 1.650$ cara.

Total Titik Sampel:
$n(A) = 1.320 + 1.650 = 2.970$ cara.

Peluang:
$P(A) = \frac{2.970}{5.985}$ (Sama-sama dibagi 45)
$P(A) = \frac{66}{133}$

Jawaban: B

Pemilihan dilakukan secara berurutan dari total 21 RT (11 Barat, 10 Timur).
Syarat yang diminta: Urutan 1 dan 2 dipisahkan sungai (artinya berbeda wilayah), dan urutan 3 mutlak berada di Timur. Karena dibedakan oleh urutan, kita kalikan peluang per tahapnya.

Terdapat 2 skenario susunan yang memenuhi syarat:

Skenario 1 (Barat - Timur - Timur):
$= \frac{11}{21} \times \frac{10}{20} \times \frac{9}{19} = \frac{990}{7.980}$

Skenario 2 (Timur - Barat - Timur):
$= \frac{10}{21} \times \frac{11}{20} \times \frac{9}{19} = \frac{990}{7.980}$

Peluang Total:
$P = \frac{990}{7.980} + \frac{990}{7.980} = \frac{1.980}{7.980}$

Sederhanakan pecahan tersebut:
$P = \frac{198}{798}$ (Bagi pembilang dan penyebut dengan 6)
$P = \frac{33}{133}$