Kombinatronika dan Peluang

Jawaban: A

Pemilihan masalah diberikan kepada calon yang spesifik secara berurutan (Sabar, Subur, Makmur). Karena urutan dan identitas penerima diperhatikan, kita menggunakan aturan perkalian bersyarat (Permutasi).

Tersedia: 11 masalah Ekonomi (E) dan 9 masalah Pendidikan (P).
Posisi masalah: [ Masalah Sabar ] $\times$ [ Masalah Subur ] $\times$ [ Masalah Makmur ]

Syarat:
1. Sabar mendapat Ekonomi: Ada 11 pilihan.
2. Subur mendapat Ekonomi: Karena 1 masalah Ekonomi sudah diambil Sabar, tersisa 10 pilihan.
3. Makmur mendapat Pendidikan: Ada 9 pilihan.

Banyak cara = $11 \times 10 \times 9 = 990$ cara.

Jawaban: C

Kalimat "setiap calon mendapatkan ketiga masalah tersebut" mengisyaratkan bahwa panitia hanya perlu memilih 3 masalah secara acak dari total 20 masalah untuk dijadikan bahan debat bersama. Pemilihan ini tidak memperhatikan urutan, sehingga kita menggunakan Kombinasi.

Ruang Sampel (Memilih 3 masalah dari 20 masalah):
$n(S) = C(20, 3) = \frac{20 \times 19 \times 18}{3 \times 2 \times 1} = 20 \times 19 \times 3 = 1.140$ cara.

Titik Sampel (Memilih 2 Ekonomi dari 11 E, dan 1 Pendidikan dari 9 P):
$n(A) = C(11, 2) \times C(9, 1) = \frac{11 \times 10}{2 \times 1} \times 9 = 55 \times 9 = 495$ cara.

Peluang:
$P(A) = \frac{495}{1.140}$ (Bagi pembilang dan penyebut dengan 5)
$P(A) = \frac{99}{228}$ (Bagi lagi dengan 3)
$P(A) = \frac{33}{76}$

Jawaban: C

Setiap calon (Sabar, Subur, Makmur) mendapat masalah yang berbeda, jadi kita gunakan aturan Permutasi.

Ruang Sampel (Membagikan 3 dari 20 masalah ke 3 calon):
$n(S) = P(20, 3) = 20 \times 19 \times 18 = 6.840$ cara.

Terdapat dua kondisi yang memenuhi syarat (dihubungkan dengan kata ATAU):

Kondisi 1: Sabar (E), Subur (P), Makmur (P)
Banyak cara = $11 \times 9 \times 8 = 792$ cara.

Kondisi 2: Sabar (P), Subur (E), Makmur (E)
Perhatikan posisinya: Sabar P, Subur E, Makmur E.
Banyak cara = $9 \times 11 \times 10 = 990$ cara.

Total Titik Sampel:
$n(A) = 792 + 990 = 1.782$ cara.

Peluang:
$P(A) = \frac{1.782}{6.840}$ (Sama-sama dibagi 18)
$P(A) = \frac{99}{380}$

Jawaban: D

Kembali menggunakan Permutasi karena setiap calon menerima masalah spesifik.

Ruang Sampel: $n(S) = P(20, 3) = 6.840$ cara.

Syarat yang diminta: Sabar pasti mendapat Pendidikan (P), sedangkan Subur dan Makmur berbeda (artinya satu mendapat P dan satu mendapat E). Ini memunculkan 2 skenario:

Skenario 1: Sabar (P), Subur (P), Makmur (E)
Sabar = 9 P
Subur = 8 P (sisa masalah P)
Makmur = 11 E
Banyak cara = $9 \times 8 \times 11 = 792$ cara.

Skenario 2: Sabar (P), Subur (E), Makmur (P)
Sabar = 9 P
Subur = 11 E
Makmur = 8 P (sisa masalah P)
Banyak cara = $9 \times 11 \times 8 = 792$ cara.

Total Titik Sampel = $792 + 792 = 1.584$

Peluang:
$P(A) = \frac{1.584}{6.840}$ (Sama-sama dibagi 72)
$P(A) = \frac{22}{95}$