Kombinatronika dan Peluang

Jawaban: C

Pemilihan dilakukan secara berurutan, sehingga urutan dan posisinya diperhatikan. Kita menggunakan aturan perkalian (Permutasi).

Tersedia: 8 kelurahan Barat dan 9 kelurahan Timur.
Posisi urutan: [ 1. Barat ] $\times$ [ 2. Barat ] $\times$ [ 3. Timur ]

Syarat pemilihan:
1. Urutan pertama Barat: Ada 8 pilihan.
2. Urutan kedua Barat: Karena 1 kelurahan Barat sudah terpilih, tersisa 7 pilihan.
3. Urutan ketiga Timur: Ada 9 pilihan.

Banyak cara = $8 \times 7 \times 9 = 504$ cara.

Jawaban: A

Kata "bersama-sama" menandakan bahwa pemilihan dilakukan sekaligus tanpa memperhatikan urutan, sehingga kita menggunakan Kombinasi.

Ruang Sampel (Memilih 4 kelurahan dari total 17 kelurahan):
$n(S) = C(17, 4) = \frac{17 \times 16 \times 15 \times 14}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 17 \times 4 \times 5 \times 7 = 2.380$ cara.

Titik Sampel (Memilih 2 Barat dari 8 Barat, dan 2 Timur dari 9 Timur):
$n(A) = C(8, 2) \times C(9, 2) = \frac{8 \times 7}{2 \times 1} \times \frac{9 \times 8}{2 \times 1} = 28 \times 36 = 1.008$ cara.

Peluang:
$P(A) = \frac{1.008}{2.380}$ (Bagi pembilang dan penyebut dengan 28)
$P(A) = \frac{36}{85}$

Jawaban: E

Seperti nomor 2, kita menggunakan Kombinasi.

Ruang Sampel: $n(S) = C(17, 4) = 2.380$ cara.

Ada dua kondisi yang memenuhi (dihubungkan dengan kata ATAU):

Kondisi 1: (1 Barat DAN 3 Timur)
$= C(8, 1) \times C(9, 3) = 8 \times \frac{9 \times 8 \times 7}{3 \times 2 \times 1} = 8 \times 84 = 672$ cara.

Kondisi 2: (3 Barat DAN 1 Timur)
$= C(8, 3) \times C(9, 1) = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} \times 9 = 56 \times 9 = 504$ cara.

Total Titik Sampel:
$n(A) = 672 + 504 = 1.176$ cara.

Peluang:
$P(A) = \frac{1.176}{2.380}$ (Sama-sama dibagi 28)
$P(A) = \frac{42}{85}$

Jawaban: B

Pemilihan dilakukan secara berurutan dari total 17 kelurahan (8 Barat, 9 Timur) tanpa pengembalian. Kita akan mengalikan peluang pada setiap tahap pengambilannya.

Syarat yang diminta:
- Urutan 1 dan 2 dipisahkan sungai (artinya 1 Barat dan 1 Timur, atau sebaliknya).
- Urutan 3 dan 4 mutlak berada di Barat.

Terdapat 2 skenario susunan yang memenuhi syarat:

Skenario 1 (Barat - Timur - Barat - Barat):
$= \frac{8}{17} \times \frac{9}{16} \times \frac{7}{15} \times \frac{6}{14}$
Sederhanakan pecahannya: $= \frac{1}{17} \times \frac{3}{5} \times \frac{1}{2} \times \frac{6}{1} \times \frac{1}{2} = \frac{9}{170}$

Skenario 2 (Timur - Barat - Barat - Barat):
$= \frac{9}{17} \times \frac{8}{16} \times \frac{7}{15} \times \frac{6}{14}$
Nilai kalinya persis sama dengan Skenario 1 $= \frac{9}{170}$

Peluang Total:
$P = \frac{9}{170} + \frac{9}{170} = \frac{18}{170}$