Matriks

Jawaban: D

Huruf yang tersedia: a, b, c, d (4 pilihan)
Angka yang tersedia: 2, 3, 4, 5, 6 (5 pilihan)

Password terdiri dari 1 huruf dan 3 angka (tidak boleh berulang). Pertama, mari kita susun seolah-olah huruf selalu berada di urutan paling depan:

Urutan: [ Huruf ] $\times$ [ Angka 1 ] $\times$ [ Angka 2 ] $\times$ [ Angka 3 ]
Banyak cara = $4 \times 5 \times 4 \times 3 = 240 \text{ kombinasi}$.

Karena posisi huruf bebas (bisa di urutan ke-1, ke-2, ke-3, atau ke-4), maka banyak posisinya ada 4 tempat.

Total keseluruhan password = $240 \times 4$
Total = 960 kombinasi.

Jawaban: D

Matriks singular memiliki ciri mutlak yaitu determinannya bernilai nol.

$\text{det } A = a_{11} \cdot a_{22} - a_{12} \cdot a_{21}$
$0 = (x \cdot (x + 4)) - (1 \cdot 5)$
$0 = x^2 + 4x - 5$

Berdasarkan rumus persamaan kuadrat $ax^2 + bx + c = 0$, jumlah semua akar-akar yang memenuhi ($x_1 + x_2$) dapat dicari dengan rumus cepat $-\frac{b}{a}$.

$x_1 + x_2 = -\frac{4}{1} = -4$

Maka jumlah semua nilai $x$ yang memenuhi adalah -4.

Jawaban: C

Kata "VEGETABLE" terdiri dari 9 huruf.
Huruf Vokal (Vowels): E, E, E, A (4 huruf, dengan E berulang 3 kali).
Huruf Konsonan: V, G, T, B, L (5 huruf unik).

Posisi ganjil (odd positions) dari 9 tempat adalah posisi 1, 3, 5, 7, 9 (Total ada 5 tempat ganjil). Syaratnya: vokal harus menempati posisi ganjil tersebut.

Langkah 1: Menempatkan Vokal
Kita harus memilih 4 posisi dari 5 posisi ganjil untuk diisi vokal: $C(5,4) = 5$ cara.
Lalu, susun 4 huruf vokal (E, E, E, A) di posisi tersebut menggunakan permutasi unsur berulang: $\frac{4!}{3!} = 4$ cara.
Total cara menyusun vokal = $5 \times 4 = 20$ cara.

Langkah 2: Menempatkan Konsonan
Tersisa 5 tempat kosong (gabungan dari sisa posisi ganjil dan posisi genap) untuk diisi 5 huruf konsonan unik.
Banyak cara menyusun konsonan = $5! = 120$ cara.

Total Kombinasi Keseluruhan:
$20 \times 120 = 2.400$ kata.

Jawaban: D

$\text{det } A = 11$
$\text{det } A = (a_{11} \cdot a_{22}) - (a_{12} \cdot a_{21})$
$11 = ((3 - 2x) \cdot 5) - (-2 \cdot 3)$
$11 = 15 - 10x - (-6)$
$11 = 15 - 10x + 6$
$11 = 21 - 10x$
$10x = 21 - 11$
$10x = 10 \rightarrow x = 1$

Jawaban: C

Mari kita analisis syarat per digit karena angka tidak boleh berulang:
Digit III: Harus huruf 'A' (1 pilihan mutlak).
Digit I: Vokal bukan U (A, E, I, O). Tapi karena 'A' sudah dipakai di Digit III, sisa pilihannya adalah E, I, O (3 pilihan).
Digit II: Angka genap yaitu 0, 2, 4, 6, 8 (5 pilihan).
Digit IV: Angka 0, 1, 2, 3, 4, 5.

Karena Digit II dan Digit IV sama-sama memperebutkan angka (0, 2, 4), kita harus memecahnya menjadi 2 kasus agar tidak terjadi pengulangan angka.

Kasus 1: Jika Digit II memakai angka (0, 2, atau 4)
Digit II = 3 pilihan.
Digit IV = Hanya sisa 5 pilihan (karena 1 angka genap sudah dipakai Digit II).
Kombinasi Kasus 1 = $3 \text{ (Digit I)} \times 3 \text{ (Digit II)} \times 1 \text{ (Digit III)} \times 5 \text{ (Digit IV)} = 45$ cara.

Kasus 2: Jika Digit II memakai angka (6 atau 8)
Digit II = 2 pilihan.
Digit IV = Tetap 6 pilihan utuh (karena angka 6 dan 8 tidak ada di daftar pilihan Digit IV).
Kombinasi Kasus 2 = $3 \text{ (Digit I)} \times 2 \text{ (Digit II)} \times 1 \text{ (Digit III)} \times 6 \text{ (Digit IV)} = 36$ cara.

Total keseluruhan = $45 + 36 = 81$ kode rahasia.

Jawaban: B

Mencari P:
$A + B = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 5 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -2 & 3 \\ 7 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 4 \\ 10 & 7 \end{pmatrix}$
$\text{det } (A + B) = (0 \cdot 7) - (4 \cdot 10) = 0 - 40 = -40$
Maka, P = -40

Mencari Q:
$A - B = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 5 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} -2 & 3 \\ 7 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & -2 \\ -4 & 3 \end{pmatrix}$
$\text{det } (A - B) = (4 \cdot 3) - (-2 \cdot -4) = 12 - 8 = 4$
Maka, Q = 4

Kesimpulan: Karena -40 < 4, maka P < Q (atau Q > P).

Jawaban: C

Berdasarkan sifat determinan matriks, $\text{det } (AB) = \text{det } A \times \text{det } B$. Ini jauh lebih cepat daripada kita harus mengalikan matriksnya terlebih dahulu.

$\text{det } A = (2 \cdot 5) - (1 \cdot 3) = 10 - 3 = 7$
$\text{det } B = (6 \cdot 2) - (0 \cdot 7) = 12 - 0 = 12$

P = $\text{det } (AB) = 7 \times 12 = 84$.

Kesimpulan: P = 84 dan Q = 84. Maka P = Q.

Jawaban: A

$\text{det } M = 0$
$(2x \cdot 3) - (-6 \cdot 3) = 0$
$6x - (-18) = 0$
$6x + 18 = 0$
$6x = -18 \rightarrow x = -3$

Maka nilai dari:
$2x - 1 = 2(-3) - 1 = -6 - 1 = -7$.

Jawaban: C

$\text{det } A = 0$
$(5 \cdot 6) - (3 \cdot (x + 1)) = 0$
$30 - 3x - 3 = 0$
$27 - 3x = 0$
$3x = 27 \rightarrow x = 9$.

Jawaban: B

Berdasarkan persamaan kuadrat $4x^2 + 2x + P = 0$, kita tahu sifat akar-akarnya:
$a + b = -\frac{b}{a} = -\frac{2}{4} = -\frac{1}{2}$
$a \cdot b = \frac{c}{a} = \frac{P}{4}$

Matriks singular berarti determinannya nol ($\text{det } A = 0$).
$(2a \cdot (b - 1)) - (2b \cdot (1 - a)) = 0$
$2ab - 2a - (2b - 2ab) = 0$
$2ab - 2a - 2b + 2ab = 0$
$4ab - 2(a + b) = 0$

Sekarang substitusikan sifat akar yang sudah kita temukan di atas:
$4(\frac{P}{4}) - 2(-\frac{1}{2}) = 0$
$P + 1 = 0 \rightarrow P = -1$.

Jawaban: D

Mari kita hitung satu per satu elemennya.

$X^2 = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (1\cdot1 + 2\cdot1) & (1\cdot2 + 2\cdot1) \\ (1\cdot1 + 1\cdot1) & (1\cdot2 + 1\cdot1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 4 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}$

$2X^2 = 2 \begin{pmatrix} 3 & 4 \\ 2 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 & 8 \\ 4 & 6 \end{pmatrix}$

$X^3 = X^2 \cdot X = \begin{pmatrix} 3 & 4 \\ 2 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7 & 10 \\ 5 & 7 \end{pmatrix}$

Sekarang kita kurangkan:
$X^3 - 2X^2 = \begin{pmatrix} 7 & 10 \\ 5 & 7 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 6 & 8 \\ 4 & 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$

Nilai determinan $|X^3 - 2X^2|$ adalah:
$(1 \cdot 1) - (2 \cdot 1) = 1 - 2 = -1$.

Jawaban: B

Pertama, kita hitung nilai $A^2$:
$A^2 = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ -1 & -2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ -1 & -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ (Ini adalah Matriks Identitas $I$).

Masukkan ke persamaan $A^2 = xA + yB$:
$\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = x\begin{pmatrix} 2 & 3 \\ -1 & -2 \end{pmatrix} + y\begin{pmatrix} 8 & 12 \\ -4 & 10 \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2x + 8y & 3x + 12y \\ -x - 4y & -2x + 10y \end{pmatrix}$

Kita bisa mengambil persamaan paling mudah dari elemen baris 1 kolom 2 (yang nilainya 0):
$3x + 12y = 0$
$3x = -12y$
$\frac{x}{y} = -\frac{12}{3} = -4$

Jawaban: E

Gunakan sifat determinan $|AB| = |A| \cdot |B|$.
$|A| = (1 \cdot -x) - (2 \cdot -1) = -x + 2$
$|B| = (-1 \cdot 6) - (-3 \cdot x) = -6 + 3x$

$|A| \cdot |B| = 9$
$(-x + 2)(-6 + 3x) = 9$
$6x - 3x^2 - 12 + 6x = 9$
$-3x^2 + 12x - 12 = 9$
$-3x^2 + 12x - 21 = 0$

Untuk mencari $x_1 + x_2$, gunakan rumus jumlah akar $-\frac{b}{a}$:
$x_1 + x_2 = -\frac{12}{-3} = 4$.

Jawaban: E

$\text{det } P = 0$
$(3 \cdot 4) - (-2 \cdot (2x - 1)) = 0$
$12 - (-4x + 2) = 0$
$12 + 4x - 2 = 0$
$10 + 4x = 0$
$4x = -10 \rightarrow x = -2,5$.

Jawaban: A

Mencari P:
Gunakan sifat $\text{det}(AB) = \text{det } A \times \text{det } B$.
$\text{det } A = (-2 \cdot 5) - (1 \cdot 3) = -10 - 3 = -13$
$\text{det } B = (-2 \cdot 2) - (3 \cdot 5) = -4 - 15 = -19$
P = $-13 \times -19 = 247$.

Mencari Q:
$A + B = \begin{pmatrix} -4 & 4 \\ 8 & 7 \end{pmatrix} \rightarrow \text{det } (A+B) = -28 - 32 = -60$
$A - B = \begin{pmatrix} 0 & -2 \\ -2 & 3 \end{pmatrix} \rightarrow \text{det } (A-B) = 0 - 4 = -4$
Q = $-60 - (-4) = -56$.

Kesimpulan: Karena 247 > -56, maka P > Q.

Jawaban: B

Matriks singular adalah matriks yang determinannya bernilai nol.

$\text{det } B = 0$
$(1 \cdot 12) - (3 \cdot (x + 2)) = 0$
$12 - 3x - 6 = 0$
$6 - 3x = 0$
$3x = 6 \rightarrow x = 2$.

Jawaban: D

$\text{det } M = 24$
$((4 - 2x) \cdot 1) - (7 \cdot -4) = 24$
$4 - 2x - (-28) = 24$
$32 - 2x = 24$
$2x = 32 - 24$
$2x = 8 \rightarrow x = 4$.

Jawaban: E

$\text{det } Q = 26$
$((4 - 2x) \cdot 1) - (8 \cdot -4) = 26$
$4 - 2x - (-32) = 26$
$36 - 2x = 26$
$2x = 36 - 26$
$2x = 10 \rightarrow x = 5$.

Jawaban: A

Menentukan kuantitas Q:
Gunakan sifat invers determinan: $\text{det}(AB)^{-1} = \frac{1}{\text{det}(AB)}$

$\text{det } A = (-2 \cdot 5) - (-4 \cdot 3) = -10 + 12 = 2$
$\text{det } B = (6 \cdot 2) - (2 \cdot 7) = 12 - 14 = -2$

$\text{det } (AB) = \text{det } A \times \text{det } B = 2 \times -2 = -4$
Q = $\frac{1}{-4} = -0,25$

Kesimpulan: Karena 0,251 &gt; -0,25, maka P > Q.

Jawaban: C

Menentukan kuantitas P:
$\text{det } A = (2 \cdot 5) - (1 \cdot 3) = 10 - 3 = 7$
$\text{det } B = (6 \cdot 2) - (0 \cdot 7) = 12 - 0 = 12$

P = $\text{det } (AB) = \text{det } A \cdot \text{det } B = 7 \cdot 12 = 84$

Kesimpulan: P = 84 dan Q = 84. Maka P = Q.