MinatMatematika

Pangkat Bulat

Latihan Uji Kompetensi 3

Estimasi waktu pengerjaan: 5 menit

Operasi aljabar merupakan operasi yang meliputi penjumlahan, perkalian, pembagian dan lain sebagainya. Operasi-operasi ini juga dapat kita lakukan pada bilangan dengan pangkat bulat, sifat-sifat operasi aljabar pada bilangan berpangkat itu sangat mudah untuk diingat loh. Kali ini kita akan membahas pangkat bulat yang dipangkat kembali dan memenuhi sifat-sifat tertentu.

Sifat-sifat operasi aljabar tersebut dapat kita temukan dengan mengerjakan soal-soal Latihan Uji Kompetensi 3 pada sub-bab ini. Berikut adalah pembahasan soal UK 1.1.3 pada sub-bab pangkat bulat yang kami ambil dari buku PKS Matematika Peminatan kelas X oleh Wilson Simangunsong yang bisa kalian baca dan pelajari.

Nomor 1

(23)5=…(2^3)^5 = \dots

Lihat Pembahasan

(23)5=23⋅23⋅23⋅23⋅23=23+3+3+3+3=215\begin{aligned} (2^3)^5 &= 2^3 \cdot 2^3 \cdot 2^3 \cdot 2^3 \cdot 2^3 \\ &= 2^{3+3+3+3+3} \\ &= 2^{15} \end{aligned}

Setelah kita mengerjakan soal nomor 1 di atas, dapat disimpulkan bahwa Jika aa adalah bilangan real, mm dan nn adalah bilangan bulat maka:

(am)n=amn(a^m)^n = a^{mn}

Mari kita lanjutkan soal selanjutnya.

Nomor 2

(a6)3=…(a^6)^3 = \dots

Lihat Pembahasan

(a6)3=a6×3=a18\begin{aligned} (a^6)^3 &= a^{6 \times 3} \\ &= a^{18} \end{aligned}

Nomor 3

(3a)a⋅(3)1−a2=…(3^a)^a \cdot (3)^{1-a^2} = \dots

Lihat Pembahasan

(3a)a⋅31−a2=3a×a⋅31−a2=3a2⋅31−a2=3a2+1−a2=31=3\begin{aligned} (3^a)^a \cdot 3^{1-a^2} &= 3^{a \times a} \cdot 3^{1-a^2} \\ &= 3^{a^2} \cdot 3^{1-a^2} \\ &= 3^{a^2+1-a^2} \\ &= 3^1 \\ &= 3 \end{aligned}

Nomor 4

3+(23−32)2=…3 + (2^3 - 3^2)^2 = \dots

Lihat Pembahasan

3+(23−32)2=3+(2⋅2⋅2−3⋅3)2=3+(8−9)2=3+(−1)2=3+(−1)⋅(−1)=3+1=4\begin{aligned} 3 + (2^3 - 3^2)^2 &= 3 + (2 \cdot 2 \cdot 2 - 3 \cdot 3)^2 \\ &= 3 + (8 - 9)^2 \\ &= 3 + (-1)^2 \\ &= 3 + (-1) \cdot (-1) \\ &= 3 + 1 \\ &= 4 \end{aligned}

Nomor 5

(3a2)4=…(3a^2)^4 = \dots

Lihat Pembahasan

(3a2)4=34⋅(a2)4=81⋅a2×4=81a8\begin{aligned} (3a^2)^4 &= 3^4 \cdot (a^2)^4 \\ &= 81 \cdot a^{2 \times 4} \\ &= 81a^8 \end{aligned}

Nomor 6

Jika xx ≠ 0 dan yy ≠ 0 maka [(x⋅ya)1−a]2⋅[(x⋅ya)a−1]2=…[(x \cdot y^a)^{1-a}]^2 \cdot [(x \cdot y^a)^{a-1}]^2 = \dots

Lihat Pembahasan

[(x⋅ya)1−a]2⋅[(x⋅ya)a−1]2=(x⋅ya)2(1−a)⋅(x⋅ya)2(a−1)=(x⋅ya)2−2a⋅(x⋅ya)2a−2=(x⋅ya)(2−2a)+(2a−2)=(x⋅ya)0=1\begin{aligned} [ (x \cdot y^a)^{1-a} ]^2 \cdot [ (x \cdot y^a)^{a-1} ]^2 &= (x \cdot y^a)^{2(1-a)} \cdot (x \cdot y^a)^{2(a-1)} \\ &= (x \cdot y^a)^{2-2a} \cdot (x \cdot y^a)^{2a-2} \\ &= (x \cdot y^a)^{(2-2a) + (2a-2)} \\ &= (x \cdot y^a)^0 \\ &= 1 \end{aligned}

Nomor 7

Diketahui 7(8p)=9(5q)7(8^p) = 9(5^q) dan 7(16p+1)=12(5q)7(16^{p+1}) = 12(5^q). Buktikan bahwa 2p=1122^p = \frac{1}{12}.

Lihat Pembahasan

Dari persamaan pertama:

5q=79(8p)5^q = \frac{7}{9}(8^p)

Substitusikan ke persamaan kedua:

7(16p+1)=12(79⋅8p)16p+1=127⋅79⋅8p16p⋅16=129⋅8p16p=129⋅16⋅8p16p=112⋅8p16p8p=112(168)p=1122p=112…(Terbukti)\begin{aligned} 7(16^{p+1}) &= 12 \left( \frac{7}{9} \cdot 8^p \right) \\ 16^{p+1} &= \frac{12}{7} \cdot \frac{7}{9} \cdot 8^p \\ 16^p \cdot 16 &= \frac{12}{9} \cdot 8^p \\ 16^p &= \frac{12}{9 \cdot 16} \cdot 8^p \\ 16^p &= \frac{1}{12} \cdot 8^p \\ \frac{16^p}{8^p} &= \frac{1}{12} \\ \left(\frac{16}{8}\right)^p &= \frac{1}{12} \\ 2^p &= \frac{1}{12} \quad \dots \text{(Terbukti)} \end{aligned}

Nomor 8

Tentukanlah hasil perpangkatan berikut.
a. (x+y)2(x+y)^2
b. (x+y)3(x+y)^3
c. (x+y)4(x+y)^4
Selidikilah kaitan antara koefisien-koefisien yang muncul dengan segitiga Pascal di bawah ini.

Lihat Pembahasan (a)

(x+y)2=(x+y)(x+y)=x2+xy+xy+y2=x2+2xy+y2\begin{aligned} (x+y)^2 &= (x+y)(x+y) \\ &= x^2 + xy + xy + y^2 \\ &= x^2 + 2xy + y^2 \end{aligned}

Lihat Pembahasan (b)

(x+y)3=(x+y)2(x+y)=(x2+2xy+y2)(x+y)=x3+x2y+2x2y+2xy2+xy2+y3=x3+3x2y+3xy2+y3\begin{aligned} (x+y)^3 &= (x+y)^2(x+y) \\ &= (x^2 + 2xy + y^2)(x+y) \\ &= x^3 + x^2y + 2x^2y + 2xy^2 + xy^2 + y^3 \\ &= x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3 \end{aligned}

Lihat Pembahasan (c)

(x+y)4=(x+y)2(x+y)2=(x2+2xy+y2)(x2+2xy+y2)=x4+4x3y+6x2y2+4xy3+y4\begin{aligned} (x+y)^4 &= (x+y)^2(x+y)^2 \\ &= (x^2 + 2xy + y^2)(x^2 + 2xy + y^2) \\ &= x^4 + 4x^3y + 6x^2y^2 + 4xy^3 + y^4 \end{aligned}

Kesimpulan:
Ternyata jika kita perhatikan koefisien-koefisien pada jawaban nomor 8a sampai 8c, kita mendapatkan kecocokan dengan angka-angka pada segitiga Pascal.

  • Ketika (x+y)(x+y) dipangkatkan 2, koefisiennya cocok dengan baris ke-3 segitiga Pascal (1,2,11, 2, 1).
  • Ketika (x+y)(x+y) dipangkatkan 4, koefisiennya cocok dengan baris ke-5 segitiga Pascal (1,4,6,4,11, 4, 6, 4, 1).

Artinya jika kita mencari hasil dari (x+y)10(x+y)^{10}, maka koefisiennya akan cocok dengan angka pada segitiga Pascal urutan ke-11. Gak percaya? Silakan coba.

Itu dia pembahasan soal Latihan Uji Kompetensi 3 atau UK 1.1.3 pada sub-bab pangkat bulat yang kami ambil dari buku PKS Matematika Peminatan kelas X oleh Wilson Simangunsong.

Untuk pembahasan soal lainnya bisa kalian cek di Paket Soal Lain.

Apabila ada hal yang ingin disampaikan silakan komentar di kolom komentar di bawah.

Jangan berhenti belajar dan mencoba hal baru, bagikan pembahasan soal dari kami ke teman-temanmu agar mereka juga tahu dan bisa ikut belajar bersama kami.

TERIMA KASIH...

Advertisement

Komentar (0)

Memuat komentar...