Penalaran Matematika

Apa yang menghubungkan antara putaran dengan jari-jari roda? Jawabannya adalah KELILING.

Ketika roda berputar, roda akan menempuh jarak tertentu. Jarak ($s$) yang ditempuh oleh roda bergantung pada keliling roda ($k$) dan berapa kali roda berputar ($n$). Semakin besar keliling roda ($k$), semakin besar pula jarak yang ditempuh ($s$). Semakin banyak putaran roda ($n$), semakin besar juga jarak yang ditempuh ($s$).

Jadi, bisa kita simpulkan bahwa: $\text{jarak} = \text{keliling} \times \text{putaran}$ $s = k \cdot n$

Pada kasus soal ini, $R_2$ dan $R_3$ terpasang pada lokomotif kereta api yang sama. Sudah pasti jarak ($s$) yang ditempuh oleh kedua roda akan sama juga.

Berarti, bisa kita tuliskan seperti ini: $s_2 = s_3$ $k_2 \cdot n_2 = k_3 \cdot n_3$ $\frac{n_2}{n_3} = \frac{k_3}{k_2}$ $\frac{n_2}{n_3} = \frac{2\pi R_3}{2\pi R_2}$ $\frac{n_2}{n_3} = \frac{R_3}{R_2} \rightarrow \text{Kesimpulan}$ $\frac{n_2}{n_3} = \frac{2}{3}$

Jadi, perbandingan putaran antarroda adalah kebalikan dari perbandingan jari-jarinya. Jawaban untuk soal ini adalah A. 2 : 3

Pada soal nomor 1, kita sudah menyimpulkan bahwa perbandingan putaran antarroda adalah kebalikan dari perbandingan jari-jarinya. $\frac{n_a}{n_b} = \frac{R_b}{R_a}$

Untuk soal ini, karena perbandingan antara $R_2$ dan $R_3$ adalah $9 : 7$, maka perbandingan putaran antarrodanya adalah: $\frac{n_2}{n_3} = \frac{R_3}{R_2}$ $\frac{n_2}{n_3} = \frac{7}{9}$

Perbandingan di atas berarti kedua roda akan menempuh jarak yang sama apabila roda 2 berputar sebanyak 7 kali dan roda 3 berputar sebanyak 9 kali atau kelipatannya. Jadi, titik A dan B pada bagian bawah masing-masing roda akan bersama kembali berada di bawah ketika roda 2 sudah melakukan 7 kali putaran dan roda 3 sudah melakukan 9 kali putaran atau kelipatannya.

Jawaban untuk soal ini adalah E. $R_2$ berputar sebanyak 7 kali atau kelipatannya

Karena terdapat perbandingan antara tiga roda, maka kita perlu membandingkan antardua roda terlebih dahulu atau menggunakan cara KPK. Perbandingan antara $R_2 : R_3 : R_4 = 9 : 7 : 3$.

Analisis Perbandingan:

1. $\frac{n_2}{n_3} = \frac{R_3}{R_2} = \frac{7}{9}$
2. $\frac{n_2}{n_4} = \frac{R_4}{R_2} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3} = \frac{7}{21}$
3. $\frac{n_3}{n_4} = \frac{R_4}{R_3} = \frac{3}{7} = \frac{9}{21}$

Jika kita gabungkan: $n_2 : n_3 : n_4 = 7 : 9 : 21$

Jadi, titik A, B, dan C pada masing-masing roda akan kembali bersama saat:

• Roda 2 sudah melakukan 7 kali putaran atau kelipatannya.
• Roda 3 sudah melakukan 9 kali putaran atau kelipatannya.
• Roda 4 sudah melakukan 21 kali putaran atau kelipatannya.

Maka, jawaban untuk soal ini adalah D. $R_2$ berputar sebanyak 7 kali atau kelipatannya

CARA CEPAT!

1. Cari KPK dari angka perbandingan jari-jari ($9, 7, 3$). KPK-nya adalah 63.
2. Perbandingan putaran didapat dengan membagi KPK tersebut dengan jari-jari masing-masing:
   • $n_2 = 63/9 = 7$
   • $n_3 = 63/7 = 9$
   • $n_4 = 63/3 = 21$

Hasilnya sama: 7 : 9 : 21.

Diketahui perbandingan $R_2 : R_3 = 4 : 3$, maka perbandingan putaran adalah: $\frac{n_2}{n_3} = \frac{3}{4}$

Jika $R_2$ berputar 8 kali ($n_2 = 8$): $\frac{8}{n_3} = \frac{3}{4}$ $3 \cdot n_3 = 32$ $n_3 = \frac{32}{3} = 10 \frac{2}{3} \text{ putaran}$

Roda 3 berputar sebanyak 10 putaran penuh (kembali ke titik asal) ditambah $\frac{2}{3}$ putaran sisanya.

Konversi ke derajat: $\text{Sisa putaran} = \frac{2}{3} \times 360^\circ = 240^\circ$

Roda terbagi menjadi 12 juring sama besar, jadi satu juring bernilai $360^\circ : 12 = 30^\circ$. Titik B akan bergeser sebanyak: $240^\circ : 30^\circ = 8 \text{ juring}$

Karena roda berputar searah jarum jam, maka titik B pada tepi roda akan bergerak berlawanan arah untuk menyesuaikan posisi. Menghitung 8 juring dari posisi bawah (titik awal B), maka titik B akan berhenti tepat pada posisi nomor 4.

Jadi jawabannya adalah D. 4