Pola Bilangan

Jawaban: D

Mari kita ubah angka-angkanya menjadi bentuk pangkat bilangan pokok 2 agar polanya terlihat jelas:

• Baris 1: 1, 2, 4, 8, &dots; $\rightarrow$ $2^0, 2^1, 2^2, 2^3, \dots, 2^7$.
  Petak pertama baris 1 ($K_1$) = $2^0$.
• Baris 2: Dimulai dari 256, 512, 1024, &dots; $\rightarrow$ $2^8, 2^9, 2^{10}, \dots, 2^{15}$.
  Petak pertama baris 2 ($K_2$) = $2^8$.
• Baris 3: Akan dimulai dari kelanjutan baris 2, yaitu $2^{16}$.
  Petak pertama baris 3 ($K_3$) = $2^{16}$.

Dari data di atas, kita dapatkan barisan untuk $K_n$ adalah: $2^0, 2^8, 2^{16}, \dots$
Pangkatnya membentuk deret aritmetika: 0, 8, 16, &dots; (dengan beda $b = 8$).

Rumus pangkat ke-$n$: $U_n = a + (n-1)b = 0 + (n-1)8 = 8n - 8$.

Jadi, rumus umum untuk bilangan di petak pertama baris ke-$n$ adalah:
$K_n = 2^{8n-8}$

Pernyataan 1: TIDAK
Baris ke-2 dimulai dari petak 1 = $2^8 = 256$.
Petak 2 = $2^9 = 512$.
Petak 3 = $2^{10} = 1.024$. (Pernyataan menyebut 512, jadi salah).

Pernyataan 2: YA
Bilangan baris pertama dari petak 1 sampai 5 adalah: 1, 2, 4, 8, 16.
Jumlahnya = $1 + 2 + 4 + 8 + 16 = 31$. (Pernyataan benar).

Pernyataan 3: TIDAK
Rumus umum petak ke-$k$ pada baris ke-$n$ adalah $2^{8(n-1) + (k-1)}$.
Untuk baris ke-8 ($n=8$) petak ke-8 ($k=8$):
Pangkat = $8(8-1) + (8-1) = 8(7) + 7 = 56 + 7 = 63$.
Bilangannya adalah $2^{63}$. (Pernyataan menyebut $2^{64}$, jadi salah).

Jawaban: C

Kita cari dulu nilai masing-masing bilangan dalam bentuk pangkat:

1. Petak pertama baris ke-3:
Menggunakan rumus $K_n$ dari soal nomor 1: $K_3 = 2^{8(3)-8} = 2^{24-8} = 2^{16}$.

2. Petak kelima baris ke-2:
Baris ke-2 dimulai dari $2^8$. Urutannya: $2^8, 2^9, 2^{10}, 2^{11}, 2^{12}$.
Jadi, petak ke-5 baris ke-2 adalah $2^{12}$.

Hasil Bagi:
$\frac{2^{16}}{2^{12}} = 2^{16-12} = 2^4 = 16$.

Jawaban: B

Bilangan pada petak ke-$n$ baris pertama memiliki pola $U_n = 2^{n-1}$.
Sesuai instruksi soal, bilangan ini akan dibagi dengan $2^{2n-2}$. Mari kita buat deret barunya ($V_n$):
$V_n = \frac{2^{n-1}}{2^{2n-2}}$

Berdasarkan sifat eksponen (pangkat dibagi berarti dikurang):
$V_n = 2^{(n-1) - (2n-2)} = 2^{-n+1} = 2^{-(n-1)} = \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}$

Jadi, susunan bilangan baris pertama yang baru adalah deret geometri dengan rasio pecahan:
Untuk $n=1 \rightarrow \left(\frac{1}{2}\right)^0 = 1$
Untuk $n=2 \rightarrow \left(\frac{1}{2}\right)^1 = \frac{1}{2}$
Untuk $n=3 \rightarrow \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}$
... dan seterusnya sampai 8 suku.

Ini adalah Deret Geometri dengan suku pertama $a = 1$, rasio $r = \frac{1}{2}$, dan banyak suku $n = 8$.
Rumus jumlah $n$ suku pertama: $S_n = \frac{a(1 - r^n)}{1 - r}$

$S_8 = \frac{1 \times \left(1 - \left(\frac{1}{2}\right)^8\right)}{1 - \frac{1}{2}}$
$S_8 = \frac{1 - \frac{1}{256}}{\frac{1}{2}}$
$S_8 = \left(\frac{255}{256}\right) \times 2 = \mathbf{\frac{255}{128}}$