Pola Bilangan

Paket 03

Estimasi waktu pengerjaan: 5 menit

Teks Pendukung

Dua tangga yang masing-masing memiliki 10 anak tangga disandarkan di dinding pada sisi yang berlawanan. Pada setiap anak tangga digantungkan kotak yang diisi dengan kelereng berwarna hitam dan putih. Anak tangga pertama setiap tangga diisi 2 kelereng, anak tangga kedua 3 kelereng, anak tangga ketiga 5 kelereng, anak tangga keempat 8 kelereng, dan seterusnya sampai anak tangga kesepuluh menggunakan pola yang sama.

Nomor 1

Jika $K_n$ menyatakan banyak kelereng pada kotak anak tangga ke $n$ , $K_n = \dots$

A. $\frac{n^2}{2} + 2n - \frac{1}{2}, n = 1, 2, \dots, 10$
B. $\frac{n^2}{2} + 3n - \frac{3}{2}, n = 1, 2, \dots, 10$
C. $\frac{n^2}{2} - \frac{n}{2} + 2, n = 1, 2, \dots, 10$
D. $-\frac{n^2}{2} + 4n - \frac{3}{2}, n = 1, 2, \dots, 10$
E. $-\frac{n^2}{2} + \frac{n}{2} + 2, n = 1, 2, \dots, 10$

Lihat Pembahasan

Jawaban: C

Mari kita bedah pola jumlah kelerengnya: 2, 3, 5, 8, &dots;

Selisih tingkat 1: +1, +2, +3, &dots; (Belum sama)
Selisih tingkat 2: +1, +1, &dots; (Sudah sama)

Karena selisihnya konstan di tingkat kedua, ini adalah Barisan Aritmetika Tingkat Dua dengan bentuk umum: $U_n = an^2 + bn + c$ .
Untuk mencari $a, b,$ dan $c$ , kita gunakan rumus cepat dari pola dasarnya:

1. Mencari $a$
$2a = \text{Selisih tingkat 2}$
$2a = 1 \implies a = \frac{1}{2}$

2. Mencari $b$
$3a + b = \text{Suku pertama tingkat 1}$
$3(\frac{1}{2}) + b = 1 \implies b = 1 - \frac{3}{2} = -\frac{1}{2}$

3. Mencari $c$
$a + b + c = \text{Suku pertama barisan utama}$
$\frac{1}{2} - \frac{1}{2} + c = 2 \implies c = 2$

Masukkan kembali ke bentuk umum:
$K_n = \frac{1}{2}n^2 - \frac{1}{2}n + 2$
$K_n = \frac{n^2}{2} - \frac{n}{2} + 2$

Nomor 2

Klik pilihan kolom di sebelah kanan pernyataan yang sesuai dengan jawaban.

Pernyataan	Ya	Tidak
Banyak kelereng hitam pada kotak anak tangga ke-9 adalah 37.
Jumlah kelereng hitam dan putih pada kotak anak tangga ke-5 adalah 24.
Selisih banyak kelereng hitam pada kotak anak tangga ke-7 dan banyak kelereng putih anak tangga ke-6 adalah 6.

Lihat Pembahasan

(Catatan: Berdasarkan teks pendukung, terdapat 2 tangga yang identik. Tangga pertama untuk kelereng hitam, tangga kedua untuk putih. Keduanya menggunakan rumus yang sama).
Untuk mempermudah perhitungan, kita jadikan satu pecahan: $K_n = \frac{n^2 - n + 4}{2}$ .

Pernyataan 1: TIDAK
$K_9 = \frac{9^2 - 9 + 4}{2} = \frac{81 - 9 + 4}{2} = \frac{76}{2} = 38$ .
(Pernyataan menyebut 37, jadi Salah).

Pernyataan 2: YA
$K_5 = \frac{5^2 - 5 + 4}{2} = \frac{25 - 5 + 4}{2} = \frac{24}{2} = 12$ .
Hitam (12) + Putih (12) = 24. (Pernyataan Benar).

Pernyataan 3: YA
Kelereng tangga ke-7: $K_7 = \frac{49 - 7 + 4}{2} = \frac{46}{2} = 23$ .
Kelereng tangga ke-6: $K_6 = \frac{36 - 6 + 4}{2} = \frac{34}{2} = 17$ .
Selisihnya = $23 - 17 = 6$ . (Pernyataan Benar).

Nomor 3

Jika kelereng hitam pada kotak anak tangga ke-10 diambil 5 kelereng, banyak kelereng hitam yang tersisa pada kotak anak tangga ke-10 adalah ...

A. 42
B. 41
C. 40
D. 39
E. 38

Lihat Pembahasan

Jawaban: A

Langkah pertama, kita cari total kelereng awal pada anak tangga ke-10 menggunakan rumus yang sudah kita temukan.
$K_{10} = \frac{10^2 - 10 + 4}{2}$
$K_{10} = \frac{100 - 10 + 4}{2}$
$K_{10} = \frac{94}{2} = 47$ kelereng.

Langkah kedua, kurangi dengan kelereng yang diambil.
Sisa = $47 - 5 = \mathbf{42}$ kelereng.

Nomor 4

Jika kelereng hitam pada kotak anak tangga ke-10 ditambah dengan kelereng putih pada kotak anak tangga ke-1, kelereng hitam pada kotak anak tangga ke-9 ditambah dengan kelereng putih pada kotak anak tangga ke-2, dan seterusnya sampai kelereng hitam pada kotak anak tangga ke-1 ditambah dengan kelereng putih pada kotak anak tangga ke-10 sehingga membentuk sebuah barisan, selisih dari suku ke-3 dan suku ke-9 barisan ini adalah ...

A. 5
B. 6
C. 7
D. 8
E. 9

Lihat Pembahasan

Jawaban: B

Polanya sangat jelas: Suku ke- $m$ pada barisan baru adalah gabungan dari kelereng hitam tangga ke-( $11-m$ ) ditambah kelereng putih tangga ke- $m$ .

1. Mencari Nilai Suku ke-3 ( $B_3$ )
$B_3$ = (Hitam tangga ke-8) + (Putih tangga ke-3)
- Tangga ke-8: $K_8 = \frac{64 - 8 + 4}{2} = \frac{60}{2} = 30$
- Tangga ke-3: $K_3 = \frac{9 - 3 + 4}{2} = \frac{10}{2} = 5$
Maka, $B_3 = 30 + 5 = 35$ .

2. Mencari Nilai Suku ke-9 ( $B_9$ )
$B_9$ = (Hitam tangga ke-2) + (Putih tangga ke-9)
- Tangga ke-2: $K_2 = \frac{4 - 2 + 4}{2} = \frac{6}{2} = 3$
- Tangga ke-9: $K_9 = \frac{81 - 9 + 4}{2} = \frac{76}{2} = 38$
Maka, $B_9 = 3 + 38 = 41$ .

3. Menghitung Selisih
Selisih suku ke-3 dan ke-9 = $41 - 35 = \mathbf{6}$ .

Komentar (0)

Memuat komentar...