Pola Bilangan

Paket 04

Estimasi waktu pengerjaan: 5 menit

Teks Pendukung

Suatu pohon diketahui tumbuh sampai mencapai ketinggian 150 cm pada akhir tahun pertama, pada akhir tahun kedua tinggi pohon adalah 214 cm, pada akhir tahun ketiga tingginya 262 cm, pada akhir tahun keempat tingginya 298 cm, serta pada akhir tahun kelima tinggi pohon adalah 325 cm. Selanjutnya, pohon tumbuh dengan pola kenaikan tinggi yang sama.

Nomor 1

Jika $T_n$ menyatakan tinggi pohon pada akhir tahun ke-n, pernyataan yang benar adalah ...

A. $T_{n+1} = T_n + 2(n-1) + 64, T_1 = 150, n = 1, 2, 3, \dots$
B. $T_{n+1} = T_n + 2n + 16, T_8 = 134, n = 0, 1, 2, \dots$
C. $T_{n+1} = T_1 + 64 \times \left(\frac{3}{4}\right)^{n-1}, T_1 = 150, n = 1, 2, 3, \dots$
D. $T_n = 150 + 64 \times \left(\frac{3}{4}\right)^{n-1} - 18, n = 1, 2, 3, \dots$
E. $T_n = 150 + 64 \times \left( \frac{1 - \left(\frac{3}{4}\right)^{n-1}}{1 - \frac{3}{4}} \right), n = 1, 2, 3, \dots$

Lihat Pembahasan

Jawaban: E

Mari kita hitung besar kenaikan tinggi pohon setiap tahunnya:

Tahun 1 ke 2: $214 - 150 = 64$ cm
Tahun 2 ke 3: $262 - 214 = 48$ cm
Tahun 3 ke 4: $298 - 262 = 36$ cm
Tahun 4 ke 5: $325 - 298 = 27$ cm

Pola kenaikannya adalah: 64, 48, 36, 27. Ini adalah Deret Geometri karena memiliki rasio perkalian yang konstan.
Rasio ( $r$ ) = $\frac{48}{64} = \frac{36}{48} = \frac{3}{4}$ .

Tinggi pohon pada tahun ke- $n$ ( $T_n$ ) adalah tinggi awal (150 cm) ditambah jumlah pertumbuhan selama $n-1$ tahun terakhir.
Jumlah pertumbuhan mengikuti rumus deret geometri $S_n = a \times \frac{1 - r^n}{1 - r}$ .

Karena pertumbuhan yang dijumlahkan ada sebanyak $n-1$ kali (mulai dari 64), maka rumusnya menjadi:
$T_n = 150 + S_{n-1}$
$T_n = 150 + 64 \times \left( \frac{1 - \left(\frac{3}{4}\right)^{n-1}}{1 - \frac{3}{4}} \right)$

Sesuai persis dengan Opsi E!

Nomor 2

Klik pilihan kolom di sebelah kanan pernyataan yang sesuai dengan jawaban.

Pernyataan	Ya	Tidak
Penambahan tinggi pohon pada akhir tahun ke-6 adalah 20¼ cm.
Tinggi pohon pada akhir tahun ke-6 adalah 346¼ cm.
Rasio pertumbuhan pohon setelah akhir tahun ke-2 adalah ¾.

Lihat Pembahasan

Pernyataan 1: YA
Penambahan tahun ke-6 berarti mencari suku ke-5 dari barisan pertumbuhan (setelah 64, 48, 36, 27).
Penambahan = $27 \times \frac{3}{4} = \frac{81}{4} = 20,25$ cm (atau 20¼ cm). Pernyataan Benar.

Pernyataan 2: TIDAK
Tinggi akhir tahun ke-6 = Tinggi tahun ke-5 + Penambahan tahun ke-6.
$T_6 = 325 + 20,25 = 345,25$ cm (atau 345¼ cm). Pernyataan menyebut 346¼, jadi Salah.

Pernyataan 3: YA
Seperti yang sudah kita hitung di soal nomor 1, rasio pertumbuhan dari tahun ke tahun adalah konstan yaitu ¾. Pernyataan Benar.

Nomor 3

Tinggi maksimum yang dicapai pohon tersebut adalah ... cm.

A. 366
B. 388
C. 392
D. 406
E. 412

Lihat Pembahasan

Jawaban: D

Tinggi maksimum adalah kondisi saat pohon berhenti bertumbuh, yaitu ketika waktunya mencapai tak hingga ( $n \to \infty$ ).
Kita gunakan rumus Deret Geometri Tak Hingga untuk total pertumbuhannya ( $S_\infty$ ).

$S_\infty = \frac{a}{1 - r}$
$S_\infty = \frac{64}{1 - \frac{3}{4}}$
$S_\infty = \frac{64}{\frac{1}{4}} = 64 \times 4 = 256$ cm.

Ini berarti, berapapun lamanya pohon itu hidup, total pertumbuhannya dari tahun pertama tidak akan lebih dari 256 cm.
Tinggi maksimum = Tinggi awal + $S_\infty$
Tinggi maksimum = $150 + 256 = \mathbf{406}$ cm.

Nomor 4

Pada akhir tahun kelima pohon dipotong sehingga tingginya hanya tinggal $\frac{4}{5}$ dari tinggi pohon seharusnya tumbuh pada tahun tersebut. Setelah dipotong, pohon tumbuh dengan pola pertumbuhan seperti pada awal ditanam, tinggi pohon pada akhir tahun kesembilan adalah ... cm.

A. 420
B. 425
C. 430
D. 435
E. 440

Lihat Pembahasan

Jawaban: D

Langkah 1: Tinggi setelah dipotong
Tinggi akhir tahun kelima aslinya adalah 325 cm. Pohon dipotong menjadi $\frac{4}{5}$ bagian.
Tinggi baru = $\frac{4}{5} \times 325 = 4 \times 65 = 260$ cm.

Langkah 2: Menghitung pertumbuhan baru (reset)
Pohon tumbuh kembali seperti pola awal (reset pertumbuhan ke angka 64, 48, dst). Karena yang ditanya adalah "akhir tahun kesembilan", berarti pohon tumbuh selama 4 tahun (tahun ke-6, ke-7, ke-8, dan ke-9).

Total pertumbuhan 4 tahun pertama (bisa diambil langsung dari data teks pendukung):
Total = $64 + 48 + 36 + 27 = 175$ cm.

Langkah 3: Tinggi Akhir
Tinggi tahun kesembilan = Tinggi setelah dipotong + Pertumbuhan 4 tahun.
Tinggi = $260 + 175 = \mathbf{435}$ cm.

Komentar (0)

Memuat komentar...