Pola Bilangan

Jawaban: A

(Catatan: Pembuat soal kemungkinan melakukan typo pada kalimat pertanyaan karena menyalin dari soal lain. Maksud dari soal ini adalah mencari rumus banyak kelereng pada kotak ke-$n$).

Mari kita tuliskan urutan banyak kelereng dari kotak 1 sampai 12 (tanpa memedulikan warnanya terlebih dahulu):
1, 2, 4, 8, 16, 32, &dots;

Pola di atas adalah Deret Geometri dengan:
Suku pertama ($a$) = 1
Rasio ($r$) = 2

Rumus suku ke-$n$ ($U_n$) untuk deret geometri adalah:
$U_n = a \times r^{n-1}$
$K_n = 1 \times 2^{n-1} = 2^{n-1}$

Karena totalnya ada 12 kotak, maka interval yang berlaku adalah $n = 1, 2, \dots, 12$.

Kita tahu aturan warnanya: Kotak ganjil (1, 3, 5, &dots;) berisi Biru, dan kotak genap (2, 4, 6, &dots;) berisi Hijau. Rumus kelerengnya tetap sama: $K_n = 2^{n-1}$.

Pernyataan 1: YA
Kotak 7 (ganjil) berisi biru. $K_7 = 2^{7-1} = 2^6 = 64$. (Pernyataan benar).

Pernyataan 2: YA
Kotak 12 (genap) berisi hijau. $K_{12} = 2^{12-1} = 2^{11} = 2.048$. (Pernyataan benar).

Pernyataan 3: TIDAK
Kelereng kotak 6 (hijau) = $2^{6-1} = 2^5 = 32$.
Kelereng kotak 9 (biru) = $2^{9-1} = 2^8 = 256$.
Selisihnya = $256 - 32 = 224$. (Pernyataan menyebut 216, jadi salah).

Jawaban: B

1. Kelereng Biru (Kotak Ganjil)
Urutan kotaknya: 1, 3, 5, 7, 9, 11. Empat kotak terakhir adalah: kotak 5, 7, 9, dan 11.
Jumlah = $2^4 + 2^6 + 2^8 + 2^{10}$
Jumlah = $16 + 64 + 256 + 1.024 = 1.360$

2. Kelereng Hijau (Kotak Genap)
Urutan kotaknya: 2, 4, 6, 8, 10, 12. Empat kotak pertama adalah: kotak 2, 4, 6, dan 8.
Jumlah = $2^1 + 2^3 + 2^5 + 2^7$
Jumlah = $2 + 8 + 32 + 128 = 170$

Selisih:
$1.360 - 170 = \mathbf{1.190}$

Jawaban: D

Soal menanyakan "banyak kelereng kotak ke-7", yang berarti total gabungan kelereng yang ada di kotak nomor 7 (Kelereng Pola Awal + Kelereng Kuning).

Langkah 1: Hitung Kelereng Pola Awal (Biru)
Kotak 7 (ganjil) berisi kelereng biru dengan pola $K_n = 2^{n-1}$.
$K_7 = 2^{7-1} = 2^6 = 64$ kelereng biru.

Langkah 2: Hitung Kelereng Kuning (Pola Mundur)
Pola ini diisi secara mundur (12 ke 1), dengan beda ($b$) = 3 dan suku pertama saat menghitung mundur ($a$) = 10 (pada kotak 12).
Kita cari urutan kotak 7 jika dihitung dari belakang (kotak 12):
Urutan = $12 - 7 + 1 = 6$. Artinya, kotak 7 adalah suku ke-6 dalam pola mundur ini.

Gunakan rumus aritmetika $U_n = a + (n-1)b$:
Kuning = $10 + (6-1)3$
Kuning = $10 + (5 \times 3) = 10 + 15 = 25$ kelereng kuning.

Langkah 3: Jumlahkan Total Kelereng
Total kotak ke-7 = $64 \text{ (Biru)} + 25 \text{ (Kuning)} = \mathbf{89}$ kelereng.